1、第1课时平面与平面垂直的判定定理课后训练巩固提升一、A组1.从空间一点P向二面角-l-的两个面,分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若EPF=60,则二面角的平面角的大小是()A.60B.120C.60或120D.不确定解析:若点P在二面角内,则二面角的平面角为120;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60.答案:C2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,则二面角B-PA-C的大小为()A.90B.60C.45D.30解析:因为PA平面ABC,BA平面ABC,CA平面ABC,所以BAAP,CAAP.因此,BAC即为二面角B-PA-C的平面角,又BAC=90,故选A.答案
2、:A3.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDEC.平面ABD平面BDCD.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE解析:由条件得ACDE,ACBE,又DEBE=E,AC平面BDE,AC平面ADC,AC平面ABC,平面ABC平面BDE,平面ADC平面BDE,故选B.答案:B4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为()ABCD解析:如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,则O为BD的中点.A1D=A1B,
3、在A1BD中,A1OBD.又在正方形ABCD中,ACBD,A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设AA1=1,则AO=tanA1OA=答案:C5.(多选题)如图,在三棱锥P-ABC中,已知PCBC,PCAC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论正确的是()A.平面EFG平面PBCB.平面EFG平面ABCC.BPC是直线EF与直线PC所成的角D.FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析:A正确,GFPC,GECB,GFGE=G,PCCB=C,平面EFG平面PBC;B正确,PCBC,PCAC,PCGF,GFBC,GFAC,又BCAC=C,GF平面ABC,平面EFG平面ABC;C
4、正确,易知EFBP,锐角BPC是直线EF与直线PC所成的角.答案:ABC6.如图,ABC是直角三角形,ABC=90,PA平面ABC,则此图形中有个直角三角形.解析:PA平面ABC,PABC.又ABBC,PAAB=A,BC平面APB.PB平面APB,BCPB,PBC为直角三角形.又PA平面ABC,PAAB,PAAC,PAB与PAC为直角三角形,又ABC为直角三角形,共有4个直角三角形.答案:47.已知P是ABC所在平面外一点,PBC和ABC都是边长为2的正三角形,PA=,则二面角P-BC-A的大小为.解析:如图,取BC的中点O,连接OA,OP,则POA为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=,
5、PA=,所以POA为直角三角形,POA=90.答案:908.正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是.解析:如图所示,设正四面体A-BCD的棱长为1,顶点A在底面BCD上的射影为O,连接AO,则AO平面BCD.连接DO并延长交BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,故AEBC,DEBC,AEO即为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角.在RtAEO中,AE=,EO=ED=,cosAEO=答案:9.如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角的平面角为60,堤面上有一条直道CD,它与堤脚的水平线AB的夹角为30,沿这条直道从堤脚向上行走10 m时人升高了多少?(精确到0.1 m)解:如图,取CD上一
6、点E,设CE=10 m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内,作EFAB,垂足为F,并连接FG,则FGAB,即EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角,EFG=60,由此得EG=EFsin 60=CEsin 30sin 60=104.3(m).答:沿这条直道从堤脚向上行走10 m时人升高约4.3 m.10.如图,在三棱锥S-ABC中,SC平面ABC,P,M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,ACB=90,直线AM与直线PC所成的角为60.(1)求证:平面MAP平面SAC;(2)求二面角M-AC-B的平面角的正切值.(1)证
7、明:SC平面ABC,SCBC.又ACB=90,ACBC.ACSC=C,BC平面SAC,又P,M分别是SC,SB的中点,PMBC,PM平面SAC.又PM平面MAP,平面MAP平面SAC.(2)解:同(1),可证AC平面SBC,ACCM,ACCB,从而MCB为二面角M-AC-B的平面角.如图,过点M作MNCB于点N,则MNSC,所以MN平面ABC.直线AM与直线PC所成的角为60,MNPC,AMN=60.连接AN,在RtACN中,CN=PM=1,AC=1,由勾股定理得AN=在RtAMN中,MN=在RtCNM中,tanMCN=,故二面角M-AC-B的平面角的正切值为二、B组1.在长方体ABCD-A1
8、B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C-BD-C1的大小是()A.30B.45C.60D.90解析:如图,过点C作CEBD于点E,连接C1E,在长方体AC1中,CC1底面ABCD,CC1BD.又CEBD,CC1CE=C,BD平面CEC1,BDC1E.则CEC1为二面角C-BD-C1的平面角.由等面积法,得CE=,tanCEC1=,从而CEC1=30.答案:A2.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,SA平面ABCD,AC与BD相交于点O,P是侧棱SC上一动点,则一定与平面PBD垂直的平面是()A.平面SABB.平面SACC.平面SCDD.平面ABCD解析:底面ABC
9、D为正方形,ACBD,SA平面ABCD,BD平面ABCD,SABD.又ACSA=A,BD平面SAC.又BD平面PBD,平面PBD平面SAC.答案:B3.(多选题)在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中正确的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面ABCD.平面PAE平面ABC解析:可画出相应图形,如图所示.由题意得BCDF,又DF平面PDF,BC平面PDF,BC平面PDF,故A正确;由AEBC,PEBC,BCDF,知DFAE,DFPE,又AEPE=E,DF平面PAE,故B正确;又DF平面ABC,平面ABC平面PAE,故D正确.设AE
10、,DF的交点为O,连接PO,则POE为二面角P-DF-E的平面角,设正四面体的棱长为2,则PE=,PO=,OE=,POE不是90,平面PDF与平面ABC不垂直,故C错误.答案:ABD4.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有个.解析:设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面的垂线l,若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与垂直,此时有无数个平面与垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一平面满足.答案:1个或无数5.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD平面ACD,则此时BC=.解析:ADBC,BDAD,CDAD,折叠
11、后,BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角.又平面ABD平面ACD,BDC=90.又折叠前,AB=AC=1,BAC=90,BD+CD=,BD=CD=折叠后,连接BC,在RtBDC中,BC=1.答案:16.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB平面ABCD.证明:如图,连接AC,交BD于点F,连接EF.由题意知EF是SAC的中位线,EFSC.SC平面ABCD,EF平面ABCD.又EF平面EDB,平面EDB平面ABCD.7.如图所示,已知在三棱锥P-ABC中,ACB=90,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且PDB是正三角形,PA
12、PC.(1)求证:平面PAC平面ABC;(2)求二面角D-AP-C的正弦值;(3)若M为PB的中点,求三棱锥M-BCD的体积.(1)证明:D是AB的中点,PDB是正三角形,AB=20,PD=AB=10.APPB.又APPC,PBPC=P,AP平面PBC.又BC平面PBC,APBC.ACBC,APAC=A,BC平面PAC.BC平面ABC,平面PAC平面ABC.(2)解:PAPC,且PAPB,BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC平面PAC,则BCPC,在RtBPC中,sinBPC=(3)解:D为AB的中点,M为PB的中点,DMPA,且DM=5,由(1)知PA平面PBC,DM平面PBC.SBCM=SPBC=2,VM-BCD=VD-BCM=52=10
