1、福建省龙岩市2015年高中毕业班5月教学质量检查数学（理）试题第I卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.）1.已知集合，中元素个数为（ ）A2 B3 C4 D5【答案】【解析】试题分析：由已知，的值为：，即，故选.考点：1.集合的概念；2.集合的基本关系.2.已知复数满足是虚数单位，则的虚部为（ ）ABCD【答案】考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算.3.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ）ABCD 【答案】【解析】试题分析：由已知，所以
2、双曲线的离心率为，故选.考点：双曲线的几何性质.4.已知向量若与平行，则实数的值是（ ）A2B0C2D1【答案】考点：1.共线向量；2.平面向量的坐标运算.5.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）（第5题图）ABCD【答案】【解析】试题分析：执行一次程序，和式中增加一项，增加后，再经判断框，根据是否满足条件，确定下步运行方向.计算的值，需要运行至后才能输出， 判断框中的条件应是，选.考点：算法与程序框图.6.某班有34位同学，座位号记为01,02,34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由
3、左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（ ）A23B09C02D16 【答案】【解析】试题分析:从随机数表第一行的第列和第列数字开始，由左到右依次选取两个数字，不超过的依次为：，第四个志愿者的座号为，故选.考点：随机抽样.7.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A12B10C8D2【答案】【解析】试题分析：由知，所以，选.考点：1.等比数列及其性质；2.对数的运算法则.8.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是（ ）若，则；若，则；若,则；若，则ABCD【答案】【解析】试题分析：由无法推出，只有当是相交直线时，才能得到，不正确；由直线与平面平行的性质可
4、知，若，那么，正确；若,可能有或，不正确；由可知，又，所以，正确.故选.考点：1.平行关系；2.垂直关系.9.在中，角的对边分别为，且若的面积为，则的最小值为（ ）A24B12C6D4【答案】考点：1.余弦定理；2.基本不等式.10.若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是（ ）AB C D 【答案】【解析】试题分析：因为对任意的正实数，函数在上都是增函数，所以恒成立，即对任意的正实数，在上恒成立，所以，故只需的最小值.令， ，由于时，；时，即时，取得最小，故选.考点：1.应用导数研究函数的单调性、最值；2.不等式恒成立问题.第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共
5、5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.11.二项式展开式中的常数项为 【答案】【解析】试题分析：二项式展开式的通项为，令得，故所求常数项为.考点：二项式定理.12.已知圆，若直线与圆相切，且切点在第二象限，则实数 .【答案】【解析】试题分析：即.由已知， .解得，由于切点在第二象限，所以.考点：1.点到直线的距离公式；2.直线与圆的位置关系.13.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为 【答案】【解析】试题分析：如图所示，不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为的面积为其中满足的图形面积为，所以随机向区域
6、内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为.考点：1.不等式组表示的平面区域；2.几何概型.14.已知函数，有下列四个结论：函数在区间上是增函数：点是函数图象的一个对称中心；函数的图象可以由函数的图象向左平移得到；若，则函数的值域为. 则所有正确结论的序号是 【答案】【解析】试题分析：由得，所以正确；将代入得.所以正确；函数的图象向左平移得到，不正确；时，所以不正确.综上知，答案为考点：1.三角函数的图象和性质；2.三角函数的图象变换.15.计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对求导，得，在上式中令，得，类比上述计算方法，计算 【答案】【解析】试题分析：对，两边同乘得，两边对求导，得，在上式
7、中令，得，即.考点：1.类比推理；2.二项式定理；3.导数的计算.三、解答题：（本大题共6题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三人是否应聘成功是相互独立的（）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求的值；（）在（）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望【答案】（）. （）.考点：1.相互独立事件的概率；2.随机变量的分布列及其数学期望.17.（本小题满分13分）已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求的表
8、达式【答案】（）. （）.考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.等差数列的通项公式；4.“裂项相消法”.18.（本小题满分13分）如图1，直角梯形中，,， 交于点，点,分别在线段,上，且. 将图1中的沿翻折，使平面平面（如图2所示），连结、，、.（）求证：平面平面；（）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值HEGDCBA图1 图2（第18题图）ABCGEHD【答案】（）见解析；（）与平面所成角的正弦值为.【解析】试题分析：（）由已知 ，及交于点.得到四边形是边长为的正方形. ，.再据平面，平面，得到 ，得证.（）由（）知，以为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向建立
9、空间直角坐标系.， 设，则（）由，得到 ，从而，根据时，三棱锥体积最大，此时，为中点.也是的中点，求得 ，.设是面的法向量.由，令，得 7分则， 设，则（）， 8分 9分，时，三棱锥体积最大，此时，为中点.，也是的中点，.10分设是面的法向量.则令，得 11分设与面所成角为则与平面所成角的正弦值为. 13分考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积；3.空间向量方法.19.（本小题满分13分）已知动圆过定点且与轴截得的弦的长为（）求动圆圆心的轨迹的方程；（）已知点，动直线和坐标轴不垂直，且与轨迹相交于两点，试问：在轴上是否存在一定点，使直线过点，且使得直线,，的斜率依次成等差数列？若存在，
10、请求出定点的坐标；否则，请说明理由【答案】（）. (）存在符合题意的定点，且点的坐标为. 【解析】试题分析：（）设，根据题意得，整理即得.（）设存在符合题意的定点.设直线的方程为且，则.代入，整理得.由题意得，得.设，则，由题意得，即,整理可得，解得.试题解析：（）设，根据题意得， 2分整理得，所以动圆圆心的轨迹的方程是. 4分（）设存在符合题意的定点.设直线的方程为且，则. 5分将代入，整理得.由题意得，即.设，则，由题意得，即,所以， 7分即9分把，代入上式，整理得， 11分又因为，所以，解得所以存在符合题意的定点，且点的坐标为. 13分考点：1.直线与圆的位置关系；2.抛物线；3. 直线
11、与圆锥曲线的位置关系.20.（本小题满分14分）已知函数，（且为常数）（）若曲线在处的切线过点，求实数的值；（）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围；（）判断函数在上的零点个数，并说明理由【答案】（）；（）；（） 零点个数为. ，函数在上递增，. 知，由此判断函数在上没有零点.试题解析：（）=，又曲线在处的切线过点,得， 3分即，解得 4分（）存在实数，使得成立，即 5分由（）知在上的解为 ，函数在 上递增，在上递减 7分又恒成立，在上递增， 8分故，得，所以实数的取值范围是 9分（）由 得，化为， 10分令，则由，得，故在上递增，在上递减，. 12分再令，因为，所以函数在上递增，. 13分
12、知，由此判断函数在上没有零点，故零点个数为. 14分考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.转化与化归思想.本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中21.（本小题满分14分）（1）已知线性变换是按逆时针方向旋转的旋转变换，其对应的矩阵为，线性变换：对应的矩阵为（）写出矩阵、；（）若直线在矩阵对应的变换作用下得到方程为的直线，求直线的方程【答案】（1）（），.（）. 【解析】试题分析：（1）（），. （）由于, 进一
13、步由得, 根据即得.试题解析：（1）（）， 2分. 3分（）, 4分由得, 5分由题意得得，所以直线的方程为. 7分考点：矩阵与变换.（2）已知曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，直线的极坐标方程为（）求直线的直角坐标方程；（）已知是曲线上任意一点，求点到直线距离的最小值【答案】（）直线的直角坐标方程为. （）.【解析】试题分析：（）应用公式，由得.（）设，应用点到直线的距离公式得，其中, 当时，即得有最小值.试题解析：（）由得， 2分直线的直角坐标方程为. 3分（）设，到的距离为,则其中, 5分当时，有最小值,到直线的距离的最小值为. 7分考点：1.极坐标与参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数的图象和性质.（3）已知函数（）若，求的取值范围；（）在（）的条件下，求的最大值【答案】（）的取值范围是. （）最大值.【解析】试题分析：（）由，得到的取值范围是.（）由（）知,由柯西不等式，.试题解析：（）由， 2分所以的取值范围是. 3分（）由（）知,由柯西不等式5分所以.当且仅当即时，取最大值. 7分考点：1.绝对值不等式的解法；2.柯西不等式的应用；3.转化与化归思想.
