1、2015-2016学年重庆市育才中学高一（下）第一次月考数学试卷（理科）一选择题：（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1 +1与1的等差中项是（）A1B1CD12下列命题正确的是（）A单位向量都相等B若与共线，与共线，则与共线C若|+|=|，则=0D若与都是单位向量，则=13等比数列an中，“公比q1”是“数列an单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如图，在等腰ABC中，AB=AC=1，A=120，则向量在向量上的投影等于（）ABCD5把1，3，6，10，15，21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示
2、）则第七个三角形数是（）A27B28C29D306在锐角ABC中，a=2，b=2，B=45，则A等于（）A30B60C60或120D30或1507等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则S4=（）A15B7C8D168设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6=S7S8，则下列结论错误的是（）Ad0Ba7=0CS9S5DS6与S7均为Sn的最大值9若ABC的内切圆面积为3，三角形面积是10，A=60，则BC边的长是（）A5B6C7D810已知四边形ABCD， =（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A1BCD211已知ABC内接
3、于单位圆，且ABC面积为S，则长为sinA，sinB，sinC的三条线段（）A不能构成三角形B能构成一个三角形，其面积为C能构成一个三角形，其面积大于D能构成一个三角形，其面积小于12已知O为ABC的外心，满足，则ABC的最大内角的余弦值为（）ABCD二填空题：（每小题5分，共20分；直接将答案填写在答卷上）13已知=（2，3），=（4，y+1），且，则y=14已知数列an满足：a1=2，an+1=（nN*），则该数列前2016项积a1a2a2015a2016=15ABC中，6sinA=4sinB=3sinC，则cosC=16若a，b是函数f（x）=x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，
4、且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于三解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知=（1，cosx），=（，sinx），x（0，）（1）若，求的值；（2）若，求sinxcosx的值18已知AD是ABC的角平分线，且AC=2，AB=4，cosBAC=（1）求ABC的面积； （2）求AD的长19设公差不等于零的等差数列an的前n项和为Sn，且S5=30，a1，a2，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求的值20定义：称为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，已知数列an的前n项的“均倒数”为（1）求an的通项公式
5、（2）设Cn=，求数列cn的前n项和Sn21已知ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，acosAbcosB=0，ab（1）求角C； （2）若y=，试确定实数y的取值范围22我们把一系列向量（i=1，2，3，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足： =（1，1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn1+yn1）（n2）（1）证明：数列是等比数列；（2）设n表示向量与间的夹角，若bn=，对于任意正整数n，不等式+a（a+2）恒成立，求实数a的范围附加题23已知：sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求S=tan（x+y+z）+tanxtanytan
6、z的值2015-2016学年重庆市育才中学高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1 +1与1的等差中项是（）A1B1CD1【考点】等差数列【分析】由等差中项的定义易得答案【解答】解：设x为+1与1的等差中项，则1x=x+1，即x=故选：C2下列命题正确的是（）A单位向量都相等B若与共线，与共线，则与共线C若|+|=|，则=0D若与都是单位向量，则=1【考点】平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除【解答】解：向量有大小、方向
7、两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A不对；B选项对三个非零向量是正确的，若是零向量时，若与共线，与共线，则与共线不一定成立当两个向量互相垂直时两向量和的模与差的模一定相等，故C选项是正确的若与都是单位向量，则=1不一定成立，当两者垂直时，内积为零由分析知，应选C3等比数列an中，“公比q1”是“数列an单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a10，q1时，an递减，数列an单调递增不成立若数列an单调递增，当a10，
8、0q1时，满足an递增，但q1不成立“公比q1”是“数列an单调递增”的既不充分也不必要条件故选：D4如图，在等腰ABC中，AB=AC=1，A=120，则向量在向量上的投影等于（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得ABC=30，再根据一个向量在另一个向量上的投影的定义求得向量在向量上的投影【解答】解：由题意可得ABC=30，向量在向量上的投影等于|cosABC=1=，故选：B5把1，3，6，10，15，21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示）则第七个三角形数是（）A27B28C29D30【考点】归纳推理【分析】原来三角形数是从l开始的连
9、续自然数的和l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28【解答】解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和l是第一个三角形数，第1个数是1；3是第二个三角形数，第2个数是3=1+2；6是第三个三角形数，第3个数是：6=1+2+3；10是第四个三角形数，第4个数是：10=1+2+3+4；15是第五个三角形数，第5个数是：15=1+2+3+4+5；那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28故选：B6在锐角ABC中，a=2，b=2，B=45，则A等于（）A30B60C6
10、0或120D30或150【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得sinA=，再由大边对大角可得AB=45，从而求得A的值【解答】解：由正弦定理可得 =，sinA=B=45，ab，再由大边对大角可得AB，故B=60或120，故选，C7等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则S4=（）A15B7C8D16【考点】等比数列的前n项和【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论【解答】解：4a1，2a2，a3成等差数列a1=1，4a1+a3=22a2，即4+q24q=0，即q24q+4=0，（q2）2=0，解得q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a
11、4=8，S4=1+2+4+8=15故选：A8设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6=S7S8，则下列结论错误的是（）Ad0Ba7=0CS9S5DS6与S7均为Sn的最大值【考点】等差数列的前n项和【分析】利用结论：n2时，an=snsn1，易推出a60，a7=0，a80，然后逐一分析各选项，排除错误答案【解答】解：由S5S6得a1+a2+a3+a5a1+a2+a5+a6，即a60，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，故B正确；同理由S7S8，得a80，d=a7a60，故A正确；而C选项S9S5，即a6+a7+a8+a90，可得2（a7+a
12、8）0，由结论a7=0，a80，显然C选项是错误的S5S6，S6=S7S8，S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；故选C9若ABC的内切圆面积为3，三角形面积是10，A=60，则BC边的长是（）A5B6C7D8【考点】正弦定理【分析】设三角形ABC内切圆心为O，半径为r，与AB，AC，BC分别切于E，F，D，由已知可求EAO=FAO=30，利用圆的面积可求r，进而可求AE=AF=3，由BE=BD，CF=CD，可求AB+AC+BC=6+2BC，根据三角形面积公式即可解得BC的值【解答】解：设三角形ABC内切圆心为O，半径为r，与AB，AC，BC分别切于E，F，D ，则AO平分BAC，OE=OF=
13、OD=r，因A=60，所以EAO=FAO=30，因为：ABC的内切圆面积为3=r2，解得：r=，所以：AE=3，得：AE=AF=3，BE=BD，CF=CD，所以：AB+AC+BC=AE+EB+AF+FC+BC=3+3+（EB+FC）+BC=3+3+2BC=6+2BC，因为：S=（AB+AC+BC ）r=（AB+AC+BC ）=10，解得：AB+AC+BC=20，可得：6+2BC=20，所以：解得：BC=7故选：C10已知四边形ABCD， =（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A1BCD2【考点】向量在几何中的应用【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则得到四边形ABCD是菱形且
14、BAD=120，因此算出|=|=，即可求出四边形ABCD的面积【解答】解：因为四边形ABCD， =，所以四边形ABCD是平行四边形，因为+=，所以AC是平行四边形ABCD的角平分线，平行四边形为菱形，且BAD=120，根据=（1，1）可得菱形的边长为因此四边形ABCD的面积S=sin60=故选：C11已知ABC内接于单位圆，且ABC面积为S，则长为sinA，sinB，sinC的三条线段（）A不能构成三角形B能构成一个三角形，其面积为C能构成一个三角形，其面积大于D能构成一个三角形，其面积小于【考点】三角形的面积公式【分析】设ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得， =2可得a=2sinA
15、，b=2sinB，c=2sinC由a，b，c为三角形的三边判断即可【解答】解：设ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得， =2a=2sinA，b=2sinB，c=2sinCa，b，c为三角形的三边sinA，sinB，sinC也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选D12已知O为ABC的外心，满足，则ABC的最大内角的余弦值为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，分别求出cosAOB=0，cosBOC=，cosAOC=，再根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍，以及二倍角公式计算即可【解答】解：设外接圆的半径为R，
16、3+4=5，（3+4）2=（5）2，9（）2+16（）2+12=25（）2，9R2+16R2+12=25R2，9R2+16R2+12R2cosAOB=25R2，cosAOB=0，同理，求得cosBOC=，cosAOC=，ABC的最大内角BAC，根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得，BAC=BOC，2cos2（BAC）1=cosBOC，2cos2（BAC）=1=cos2（BAC）=，cosBAC=故答案为：B二填空题：（每小题5分，共20分；直接将答案填写在答卷上）13已知=（2，3），=（4，y+1），且，则y=5【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解
17、：，342（y+1）=0，解得y=5，故答案为：514已知数列an满足：a1=2，an+1=（nN*），则该数列前2016项积a1a2a2015a2016=1【考点】数列递推式【分析】利用递推关系可得：an+4=an利用周期性即可得出【解答】解：a1=2，an+1=（nN*），a2=3，a3=，a4=，a5=2，an+4=an则该数列前2016项积a1a2a2015a2016=1，故答案为：115ABC中，6sinA=4sinB=3sinC，则cosC=【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由正弦定理可得6a=4b=3c，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得【解答】解：6sinA=4sinB
18、=3sinC，由正弦定理可得6a=4b=3cb=，c=2a，由余弦定理可得cosC=故答案为：16若a，b是函数f（x）=x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等
19、比数列，可得或解得：；解得：p=a+b=5，q=14=4，则p+q=9故答案为：9三解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知=（1，cosx），=（，sinx），x（0，）（1）若，求的值；（2）若，求sinxcosx的值【考点】三角函数的化简求值；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（1）根据可推断出求得tanx的值，进而把分子分母同时除以cosx，把原式转化成关于tanx的式子，进而把tanx的值代入即可（2）根据两向量垂直可推断出，利用配方法（sinxcosx）2=12sinxcosx进而把sinx和cosx的值代入求得答案【解答】解：
20、（1）（2）又18已知AD是ABC的角平分线，且AC=2，AB=4，cosBAC=（1）求ABC的面积； （2）求AD的长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由cosBAC=，BAC（0，），可得sinBAC=，即可得出SABC（2）由AD是ABC的角平分线，可得=2，BAD=BAC，利用cosBAC=12sin2BAD，解得sinBAD利用SABD=SABC=，即可得出【解答】解：（1）cosBAC=，BAC（0，），sinBAC=SABC=24=（2）由AD是ABC的角平分线，=2，BAD=BAC，cosBAC=12sin2BAD，=12sin2BAD，解得sinBAD=SABD=SA
21、BC=解得AD=19设公差不等于零的等差数列an的前n项和为Sn，且S5=30，a1，a2，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求的值【考点】数列的求和；等差数列的前n项和【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）设数列an的首项为a1，公差为d，则d0，S5=30，a1，a2，a4成等比数列，解得a1=d=2，（其中d=0舍去），an=2+2（n1）=2n（2）=，=+=20定义：称为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，已知数列an的前n项的“均倒数”为（1）求an的通项公式（2）设Cn=，求数列cn的前n项和S
22、n【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）数列an的前项和为Sn=n（n+2），由此能求出an的通项公式（2）由Cn=，利用错位相减法能求出数列cn的前n项和Sn【解答】解：（1）数列an的前n项的“均倒数”为，根据题意得数列an的前项和为：Sn=n（n+2），当n2时，an=SnSn1=n（n+2）（n1）（n2）=2n+1，n=1时，a1=S1=3适合上式，an=2n+1（2）由（1）得Cn=，3Sn=，得：2Sn=3+=3+=，Sn=221已知ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，acosAbcosB=0，ab（1）求角C； （2）若y=，试确定实数y的取值范围【考点】三角函数
23、中的恒等变换应用；正弦定理【分析】（1）由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，2A，2B（0，2）由于ab，可得AB，可得A+B=即可得出C（2）由sinB=cosA 得y=，令 sinA+cosA=t（1，则 sinAcosA=，y=，根据t在（1，单调递增，即可求得实数y的取值范围【解答】（本题满分为14分）解：（1）acosA=bcosB，sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，2A，2B（0，2）2A=2B，或2A=2B，ab，AB，A+B=C=（A+B）=（2）sinB=cosA，y=，sinA+cosA=sin（A+），A（0，），
24、A+（，）sin（A+）（，1，sinA+cosA（1，令 sinA+cosA=t（1，则 sinAcosA=，y=，t在（1，单调递增，0t=，y2，又ab，故等号不成立，y的取值范围为（2，+）22我们把一系列向量（i=1，2，3，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足： =（1，1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn1+yn1）（n2）（1）证明：数列是等比数列；（2）设n表示向量与间的夹角，若bn=，对于任意正整数n，不等式+a（a+2）恒成立，求实数a的范围【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定【分析】（1）利用向量模的坐标公式求出|的模，得到|与|的关系，
25、利用等比数列的定义能证明数列是等比数列（2）利用向量的坐标形式的数量积公式求出，的数量积，利用向量的模、夹角形式的数量积公式求出夹角的余弦，从而得到bn=，由此能求出结果【解答】证明：（1）向量列满足： =（1，1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn1+yn1），|=|，数列是等比数列解：（2）n表示向量与间的夹角，cosQn=，Qn=，bn=，+=，记f（n）=，则f（n+1）f（n）=0，f（n）随n单调增加，f（n）m对于一切大于1的自然数n都成立等价于mf（2）=，对于任意正整数n，不等式+=a（a+2）恒成立，a（a+2）2f（2）=，解得1a1+，实数a的范围是（1，1+）附
26、加题23已知：sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求S=tan（x+y+z）+tanxtanytanz的值【考点】两角和与差的正切函数【分析】把已知等式变形，平方作和后可得cos（xy）=，cos（yz）=，cos（zx）=，表明角x，y，z中任两角的终边夹角为120度然后把x，y用z表示后利用两角和的正切得答案【解答】解：由sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，得sinx+siny=sinz且cosx+cosy=cosz，平方相加，得2+2cosxcosy+2sinxsiny=1，即cos（xy）=，同理，cos（yz）=，cos（zx）=，这表明角x，y，z中任两角的终边夹角为120度不妨设 x=y+120+2k1180（k1Z），y=z+120+2k2180（k2Z），则x=z+2（k1+k2）180，x+y+z=3z+2（k1+k2+1）180，S=tan（x+y+z）+tanxtanytanz=tan（3z）+tan（z+240）tan（z+120）tanz=tan（3z）+tanztan（z+60）tan（z60）=tan（3z）tan（3z）=02016年10月25日
