1、热点17 锐角三角函数【命题趋势】锐角三函数是中考数学中必考内容之一，所占比例815分，题目数量2-3题。一般小题会有一个，一般为填空或计算，考查学生对几个特殊角的三角函数值的记忆情况。大题一般也会有一题，主要是考查锐角三角函数的实际应用，往往会结合仰角和俯角，坡度等概念进行设计问题，当然在其他解答题中也可能会用到三角函数，比如在计算一些线段长度，会与解直角三角形，或者与圆、四边形结合而形成难度中等的解答题。 【满分技巧】一、 整体把握知识结构二重点知识1.RtABC中(1)A的对边与斜边的比值是A的正弦，记作sinA (2)A的邻边与斜边的比值是A的余弦，记作cosA (3)A的对边与邻边的
2、比值是A的正切，记作tanA (4)A的邻边与对边的比值是A的余切，记作cota 2.特殊值的三角函数：asinacosatanacota30451160【限时检测】（建议用时：30分钟）一、 选择题1. (2019 湖北省宜昌市)如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（）ABCD【答案】D【解析】如图，过C作CDAB于D，则ADC90，AC5sinBAC故选：D2. (2019 湖南省湘西市)如图，在ABC中，C90，AC12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cosBDC，则BC的长是（）A10B8C4D
3、2【答案】D【解析】C90，cosBDC，设CD5x，BD7x，BC2x，AB的垂直平分线EF交AC于点D，ADBD7x，AC12x，AC12，x1，BC2；故选：D3. (2019 湖南省长沙市)如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10【答案】B【解析】如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，ABE90，tanA=2，设AEa，BE2a，则有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍弃），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAC，CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，si
4、nDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值为4故选：B4. (2019 山东省泰安市)如图，一艘船由A港沿北偏东65方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40方向航行至C港，C港在A港北偏东20方向，则A，C两港之间的距离为（）kmA30+30B30+10C10+30D30【答案】B【解析】根据题意得，CAB6520，ACB40+2060，AB30，过B作BEAC于E，AEBCEB90，在RtABE中，ABE45，AB30，AEBEAB30km，在RtCBE中，ACB60，CEBE10km，ACAE+CE30+10，A，C两港之间的距离为（30+
5、10）km，故选：B5. (2019 陕西省)如图，在ABC中，B=30，C=45，AD平分BAC交BC于点D，DEAB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为 A.2+ B. C.2+ D.3 【答案】A【解析】过点D作DFAC于F如图所示，AD为BAC的平分线，且DEAB于E，DFAC于F，DE=DF=1，在RtBED中，B=30，BD=2DE=2，在RtCDF中，C=45，CDF为等腰直角三角形，CD=DF=，BC=BD+CD=，故选A6. (2019 天津市) 2sin60的值等于（）A1BCD2【答案】C【解析】2sin602，故选：C7. (2019 浙江省杭州市)如图，一块矩形木板A
6、BCD斜靠在墙边（OCOB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知ABa，ADb，BCOx，则点A到OC的距离等于（）Aasinx+bsinxBacosx+bcosxCasinx+bcosxDacosx+bsinx【答案】D【解析】作AEOC于点E，作AFOB于点F，四边形ABCD是矩形，ABC90，ABCAEC，BCOx，EABx，FBAx，ABa，ADb，FOFB+BOacosx+bsinx，故选：D8. (2019 浙江省台州市)如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，ABEF2cm，BCFG8cm把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合当两张纸
7、片交叉所成的角最小时，tan等于（）ABCD【答案】D【解析】如图，ADCHDF90CDMNDH，且CDDH，HC90CDMHDN（ASA）MDND，且四边形DNKM是平行四边形四边形DNKM是菱形KMDMsinsinDMC当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MDaBM，则CM8a，MD2CD2+MC2，a24+（8a）2，aCMtantanDMC故选：D9. (2019 重庆市)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动如图，在一个坡度（或坡比）i1：的山坡AB上发现有一棵古树CD测得古树底端C到山脚点A的距离AC26米，在距山脚点A水平距离6米的
8、点E处，测得古树顶端D的仰角AED48（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48，cos48，tan48）A米B米C米D米【答案】C【解析】如图，1：，设CF5k，AF12k，AC13k26，k2，AF10，CF24，AE6，EF6+2430，DEF48，tan481.11，DF，CD10，答：古树CD的高度约为米，故选：C10. (2019 广西防城港市)小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高为1.5米，她先站在处看路灯顶端的仰角为，再往前走3米站在处，看路灯顶端的仰角为，则路灯顶端到地面的距离约
9、为（）（已知，A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米【答案】C【解析】过点作于点，延长交于点，设，故选：C二、填空题11. (2019 甘肃省)在ABC中C90，tanA，则cosB 【答案】【解析】利用三角函数的定义及勾股定理求解在RtABC中，C90，tanA，设ax，b3x，则c2x，cosB故答案为：12. (2019 湖南省张家界市)如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tanAPD 【答案】2【解析】连接AF，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CFBE，在ABE和BCF中，RtABERtBCF（SAS），
10、BAECBF，又BAE+BEA90，CBF+BEA90，BPEAPF90，ADF90，ADF+APF180，A、P、F、D四点共圆，AFDAPD，tanAPDtanAFD2，故答案为：213. (2019 江苏省常州市)如图，半径为的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tanOCB 【答案】【解析】连接OB，作ODBC于D，O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，OBCOBAABC30，tanOBC，BD3，CDBCBD835，tanOCB故答案为14. (2019 江苏省淮安市)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，H是AB的中点，将CBH沿CH折叠，点B
11、落在矩形内点P处，连接AP，则tanHAP 【答案】【解析】如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BHPH，又H为AB的中点，AHBH，AHPHBH，HAPHPA，HBPHPB，又HAP+HPA+HBP+HPB180，APB90，APBHEB90，APHE，BAPBHE，又RtBCH中，tanBHC，tanHAP，故答案为：15. (2019 江苏省苏州市)如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_（结果保留根号） 【答案】14+16【解析】如右图：过顶点A作AB大直角三角形底边由题意： =
12、= 16. (2019 山东省临沂市)计算：tan45 【答案】【解析】tan4511，故答案为：117. (2019 山东省潍坊市)如图，RtAOB中，AOB90，顶点A，B分别在反比例函数y（x0）与y（x0）的图象上，则tanBAO的值为 【答案】【解析】过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，则BDOACO90，顶点A，B分别在反比例函数y（x0）与y（x0）的图象上，SBDO，SAOC，AOB90，BOD+DBOBOD+AOC90，DBOAOC，BDOOCA，（）25，tanBAO，故答案为：18. (2019 四川省自贡市)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，
13、则cos（+） 【答案】【解析】给图中各点标上字母，连接DE，如图所示在ABC中，ABC120，BABC，30同理，可得出：CDECED30又AEC60，AEDAEC+CED90设等边三角形的边长为a，则AE2a，DE2sin60aa，ADa，cos（+）故答案为：19. (2019 浙江省杭州市)在直角三角形ABC中，若2ABAC，则cosC 【答案】或【解析】若B90，设ABx，则AC2x，所以BCx，所以cosC；若A90，设ABx，则AC2x，所以BCx，所以cosC；综上所述，cosC的值为或故答案为或20. (2019 广西百色市)四边形具有不稳定性如图，矩形按箭头方向变形成平行四
14、边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则【答案】30【解析】，平行四边形的底边AD边上的高等于AD的一半，故答案为：30三、解答题21. (2019 天津市)如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60【解析】在RtCAD中，tanCAD，则ADCD，在RtCBD中，CBD45，BDCD，ADAB+BD，CDCD+30，解得，CD45，答：这座灯塔的高度CD约为45m
15、22. (2019 山东省威海市)如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图已知汽车货厢高度BG2米，货厢底面距地面的高度BH0.6米，坡面与地面的夹角BAH，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米通过计算判断：当sin，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部【解析】BH0.6米，sinAB1米，AH0.8米，AFFC2米，BF1米，作FJBG于点J，作EKFJ于点K，EFFBAB1米，EKFFJBAHB90，EFKFBJABH，EFKFBJABH，EKFJAH，BJBH，BJ+EK0.6+0.81.42，木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部
