1、1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学 习 目 标核 心 素 养1了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题(重点)2知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系(易混点)3会利用命题的等价性解决问题(难点)1通过四种命题概念的学习，体现了数学抽象核心素养2借助四种命题的关系，培养学生逻辑推理核心素养1四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中
2、一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”思考1：四种命题中原命题是否是固定的？提示原命题不是固定的任何一个命题都可以作为原命题，从而有另外的三种命题2四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真
3、假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系思考2：(1)“abc0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中真命题的个数会是奇数吗？提示(1)“abc0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数1命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的相反数不是正
4、数”D“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B根据逆命题的定义知，选B2命题“奇函数的图象关于原点对称”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为()A0B2C4 D1C四个命题均为真命题3命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数B原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题，即：若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数4命题“若ab0，则a0”与命
5、题“若a0，则ab0”是_命题(填“互逆”“互否”“互为逆否”)互逆两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念四种命题【例1】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x3时，x24x30；(3)正方形的对角线互相平分解(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似(2)原命题：若x3，则x24x30；逆命题：若x24x30
6、，则x3；否命题：若x3，则x24x30；逆否命题：若x24x30，则x3(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形1写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论2写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于()大
7、于()小于()是都是至多有一个否定词语不等于()不大于()不小于()不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n1)个某一个(确定的)某两个某些不能1写出下列各个命题的逆命题、否命题以及逆否命题(1)若sin ，则tan ；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当1x2时，x23x20；(4)若ab0，则a0或b0解(1)逆命题：若tan ，则sin 否命题：若sin ，则tan 逆否命题：若tan ，则sin (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等逆否命题：若两
8、个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高(3)逆命题：若x23x20，则1xb，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为()A0个 B1个C2个 D4个(2)判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题的真假思路探究：(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可(2)思路一思路二(1)C当c0时，ac2bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2bc2，则ab”是真命题，从而其否命题也是真命题，故选C(2)解：法一：原命题的逆否命题：若x2xa0无实根，则a0x2xa0无实根，14a0，解得a0，方程x2xa0
9、有实根，故原命题为真命题原命题与其逆否命题等价，原命题的逆否命题为真命题判断一个命题的真假的两种方法(1)分清该命题的条件与结论，直接对该命题的真假进行判断； (2)不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题与其逆否命题等价、逆命题与否命题等价，特别是当命题本身不容易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现2判断下列四个命题的真假，并说明理由(1)“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若xy，则x2y2”的逆否命题；(3)“若x3，则x2x60”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题解(1)命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则
10、xy0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题(2)令x1，y2，满足xy，但x2y，则x2y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若xy，则x2y2”的逆否命题也是假命题(3)该命题的否命题为“若x3，则x2x60”，令x4，满足x3，但x2x660，不满足x2x60，则该否命题是假命题(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角等价命题的应用探究问题1当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示一
11、个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题2在证明“若m2n22，则mn2”时，我们也可以证明哪个命题成立？提示根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若mn2，则m2n22”成立【例3】(1)命题“对任意xR，ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_(2)证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0思路探究：(1)根据其逆否命题求解(2)证明其逆否命题成立(1)3,0命题“对任意xR，ax22ax30不成立”等价于“对任意xR，ax22ax30恒成立”，若a0，则30恒成立，a0符合题意若a0，由题意知即3a0，综上
12、知，a的取值范围是3,0(2)证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”若ab0，则ab，ba又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题1若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题2当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立3证明：若a24b22a10，则a2b1证明“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若a2b1，则a24b22a10”a2b1，a24b
13、22a1(2b1)24b22(2b1)14b214b4b24b210命题“若a2b1，则a24b22a10”为真命题由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证1“命题”的三个关注点(1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断(3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了2“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”
14、与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别两者具有不同的含义，具体区分如下：前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题1命题“若aA，则bB”的逆命题是()A若aA，则bBB若aA，则bBC若bB，则aAD若bB，则aAC“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若bB，则aA”2已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2c23，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ()A1B2C3 D4B原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a6，则a3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是24命题“若x2y20，则x，y全为0”的否命题是_若x2y20，则x，y不全为0x，y全为0的否定应为x，y不全为0