1、周练卷(五)一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是(D)A2B2C.D1解析：y28x的焦点为F(2,0)，它到直线xy0的距离d1.故选D.2准线与x轴垂直，且经过点(1，)的抛物线的标准方程是(B)Ay22xBy22xCx22yDx22y解析：本题考查抛物线标准方程的求法由题意可设抛物线的标准方程为y2ax，则()2a，解得a2，因此抛物线的标准方程为y22x，故选B.3已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(C)A2B1C4D8解析：本题主要考查抛物线的定义和抛
2、物线的焦点到准线的距离抛物线y22px(p0)的准线为x.因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以68，解得p4，所以焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.4抛物线y212x的准线与双曲线1的两条渐近线所围成的三角形的面积为(A)A3B2C2 D.解析：本题主要考查抛物线和双曲线中的基本量和三角形面积的计算抛物线y212x的准线为x3，双曲线的两条渐近线为yx，它们所围成的三角形为边长为2的正三角形，所以所求三角形的面积为3，故选A.5过点(0,1)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线有(C)A1条B2条C3条D0条解析：本题主要考查直线与抛物线的位
3、置关系易知过点(0,1)且斜率不存在的直线x0，满足与抛物线y24x只有一个公共点当过点(0,1)的直线的斜率存在时，设直线方程为ykx1，与y24x联立，整理，得k2x2(2k4)x10，当k0时，方程有一个解，满足直线ykx1与抛物线y24x只有一个公共点；当k0时，由0，可得k1，满足直线ykx1与抛物线y24x只有一个公共点综上，满足题意的直线有3条，故选C.6过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x23p，则|PQ|(A)A4pB5pC6pD8p解析：设焦点为F，则|PQ|PF|QF|x1x2p4p.7已知双曲线x21的两条渐近
4、线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积为1，则p的值为(B)A1 B.C2D4解析：双曲线x21的两条渐近线方程是y2x.又抛物线y22px(p0)准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是yp.AOB的面积为1，2p1.p0，p.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p2，准线方程为x1.解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用因为抛物线y22px的焦点坐标为，准线方程为x，所以p2，准线方程为x1.9已知点A，抛物线y22x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|PF|，则|OP|.解析
5、：过P作抛物线y22x准线的垂线，垂足为B.由|AP|PF|知PBA为等腰直角三角形，则四边形PBAF为正方形，故P.|OP|.10在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是x.解析：线段OA的垂直平分线方程为y2x，令y0，得x.于是抛物线的焦点为F.故抛物线方程为y25x，其准线方程为x.11过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则.解析：本题主要考查抛物线定义的应用如图，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E，再过点A作AC垂直BE于点C，
6、设|BC|a，由于直线AB的倾斜角为30，因此|AB|2a.由|AD|AF|，|BF|BE|，得|AD|，则|AF|，|FB|，于是.三、解答题(本大题共3小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(15分)点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x60的距离小2.(1)求点M的轨迹方程；(2)若直线yx5与(1)中的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度解：(1)解法一：由题意可知：点M到点F(4,0)的距离与它到直线l：x40的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点的抛物线由4得p8，所以其轨迹方程是y216x.解法二：设M(x，y)，则由题意可得：2|x6|，化简得轨迹方程为
7、y216x，(2)解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|x1x2|.由得x226x250.所以|x1x2|24.于是|AB|x1x2|24.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x226x250，解得x11，x225.所以A(1，4)，B(25,20)，从而|AB|24.13(15分)已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点(1)写出抛物线C1的标准方程；(2)求ABO面积的最小值解：(1)椭圆C2：1的右焦点(1,0)，即为抛物线C1的焦点又抛物线C1的顶点在坐标原点
8、，所以抛物线的标准方程为y24x.(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x4，此时|AB|8，ABO的面积S8416.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x4)(k0)由得ky24y16k0，1664k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y2，y1y216，所以SABOSAOMSBOM|OM|y1y2|OM|216.综上所述，ABO面积的最小值为16.14(15分)已知抛物线x22py(p0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示(1)求点C的轨迹M的方程；(2)直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，点C的轨迹M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.解：(1)由题意可得，直线l的斜率存在，设其方程为ykx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，动点C(x，y)，由可得x22pkxp20，可得x1x2p2.因为OA：yxx，CB：xx2，所以由可得yx2，即点C的轨迹方程为y.(2)证明：设直线m的方程为ykxm，由得x22pkx2pm0，所以4p2k28pm.因为直线m与抛物线相切，所以0，即pk22m0，可得P(pk，m)又由可得Q，因为(p2m)pm0，所以FPFQ，所以以线段PQ为直径的圆过点F.
