1、第九课时平面向量的数量积及运算律(一)教学目标：掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义.教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学过程：.课题引入在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F所做的功 W 可由下式计算：WFscos其中 是 F 与 s 的夹角.从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.讲授新课1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a 与 b，作OA a，OB b，
2、则AOB(0)叫 a 与 b 的夹角.说明：(1)当 0 时，a 与 b 同向；(2)当 时，a 与 b 反向；(3)当 2 时，a 与 b 垂直，记 ab；(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.2.数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角是，则数量abcos 叫 a 与 b 的数量积，记作 ab，即有 ababcos(0).说明：(1)零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0；(2)符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.3.数量积的几何意义两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积.说明：这个投影值可正可负也可为零
3、，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.4.数量积的重要性质设 a 与 b 都是非零向量，e 是单位向量，0 是 a 与 e 夹角，是 a 与 b 夹角.eaaeacos0ab ab0当 a 与 b 同向时，abab当 a 与 b 反向时，abab特别地，aaa2 或a a a a 2cosabababab说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证.5.数量积的运算律已知 a，b，c 和实数，则向量的数量积满足下列运算律：abba(交换律)(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)(ab)cacbc(分配律)说明：(1)一般地，(ab)ca(bc)(2)acbc，c0ab(3)有如下常用
4、性质：a2a2，(ab)(cd)acadbcbd(ab)2a22abb2师为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的例题.例题判断正误，并简要说明理由.a00；0a0；0ABBA；abab；若 a0，则对任一非零b 有 ab0；ab0，则 a 与 b 中至少有一个为 0；对任意向量 a，b，c 都有(ab)ca(bc)；a 与 b 是两个单位向量，则 a2b2.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述 8 个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有 0a0；对于：应有 0a0；对于：由数量积定义有ababcosab，这里 是 a 与 b
5、的夹角，只有 0 或 时，才有abab；对于：若非零向量 a、b 垂直，有 ab0；对于：由 ab0 可知 ab 可以都非零；对于：若 a 与 c 共线，记 ac.则 ab(c)b(cb)(bc)，(ab)c(bc)c(bc)c(bc)a若 a 与 c 不共线，则(ab)c(bc)a.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.说明：1.概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：例 1已知 ABC 中，a5，b8，C60，求BCCA.对此题，有同学
6、求解如下：解：如图，BCa5，CAb8，C60，BCCABCCAcosC58cos6020.分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC与CA两向量的起点并不同，因此，C 并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是 C 的补角 120.2.向量的数量积不满足结合律分析：若有(ab)ca(bc)，设 a、b 夹角为，b、c 夹角为，则(ab)cabcosc，a(bc)abccos.若 ac，则ac，进而有：(ab)ca(bc)这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：已知a1，b1，c 2，a 与 b 夹角是 60，b 与 c 夹角是 45，则
7、：(ab)c(abcos60)c12 c，a(bc)(bccos45)aa而12 ca，故(ab)ca(bc)3.等式的性质“实数 a、b、c，且 abac，a0 推出 bc”这一性质在向量推理中不正确.例 2举例说明 abac，且 a0，推不出 bc.解：取a1，b 22，a 与 b 的夹角为 45，c12，a 与 c 的夹角为 0，显然 abac12，但 bc.4.“如果 ab0，那么 a，b 中至少有一个为零”这一性质在向量推理中不正确.例 3已知a2，b3，a 与 b 的夹角为 90，求 ab.解：ab23cos900，显然 a0，b0，由 ab0 可推出以下四种可能：a0，b0;b0，a0;a0 且 b0;a0 且 b0 但 ab.课堂练习课本 P80 练习 1，2，3.课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.课后作业课本 P82 习题1，2，3
