1、 运用基本不等式求最值例1(2014苏州期末)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为.【分析】要求x+y的最小值,一种方式是转化为一个变量的代数式,然后变形成积为定值的形式,二是将已知式中变形成积的定值,然后将所求式进行构造,利用基本不等式求解. 【答案】2-3【解析】方法一:由xy+2x+y=4,得y=-2+,所以x+y=x+1+-32-3=2-3,即x+y的最小值为2-3.方法二:由xy+2x+y=4,得(x+1)(y+2)=6,由基本不等式得(x+1)+(y+2)2=2,所以x+y2-3,即x+y的最小值为2-3.【点评】(1) 一般地,分子、分母有一个一次、一个二次
2、的分式结构的函数以及含有两个变量的函数,特别适合用基本不等式求最值.(2) 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件中要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件.变式1已知x0,y0,2x+8y-xy=0,那么x+y的最小值为.【答案】18【解析】方法一:因为2x+8y-xy=0,所以y=.因为y0,所以0,又x0,所以x-80,所以x+y=x+=x-8+102+10=18,当x-8=时取等号.方法二:由题知+=1,则x+y=(x+y)(+)=10+10+2=18.变式2已知函数f(x)=log2(x
3、-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值是.【答案】7【解析】方法一:由log2(m-2)+log2(2n-2)=3,得(m-2)(n-1)=4,则m=+2,所以m+n=+2+n=+(n-1)+32+3=7(当且仅当n=3时,取等号),故m+n的最小值为7.方法二:m-20,n-10,m+n=m-2+n-1+32+3=3+2=7,当且仅当m-2=n-1时取等号.线性规划中的最值问题例2(2014常州期末)已知实数x,y满足约束条件则z=5-x2-y2的最大值为.【分析】要求z=5-x2-y2的最大值,即求x2+y2的最小值,而x2+y2的几何意义为区域内的点到原点距离
4、的平方,所以利用点到直线的距离即可.【答案】【解析】方法一:在坐标系中画出约束条件所对应的可行域如图所示,又x2+y2的几何意义为在如图所示的阴影区域中任一点P到原点距离的平方,所以由几何特征可得:x2+y2的最小值为原点到直线AC的距离的平方.故z=5-x2-y25-=5-=,即zmax=.(例2)方法二:由基本不等式x2+y22xy,得2(x2+y2)(x+y)2.又x+y3,故x2+y2,当且仅当x=y=3时取等号,所以zmax=5-=.【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直
5、线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值均在可行域的端点或边界上取得.本题利用线性规划求解时要注意:一是x2+y2是距离平方,不是距离;二是可行域中的点到原点的距离的最小值不是在三个端点处取得,而是点到直线的距离.变式(2014福建卷)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域=若圆心C,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为.【答案】37【解析】a2+b2表示圆心到原点距离的平方,画出可行域如图阴影部分所示.因为圆C与x轴相切,所以圆心在直线y=1上,可知,当圆心为A(6,1)时,OA最大,此时(a2+b2)max=37.(变式)基本不等式模型应用题例3
6、(2014南京学情调研)如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求其最大面积.(例3)【分析】引入变量,可设休闲广场的长为xm,然后求出宽,可以将绿化区域的总面积表示成x的函数,然后利用基本不等式求最大面积,从长、宽的取值可求得x的范围,注意基本不等式等号成立的条件.【解答】设休闲广场的长为xm,则宽为 m,绿化区域的总面积为Sm2,则S=(x-6)=2424-=2424-4,x(6,600)
7、.因为x(6,600),所以x+2=120,当且仅当x=,即x=60时取等号.此时S取得最大值,且最大值为1944.答:当休闲广场的长为60m,宽为40m时,绿化区域总面积最大,最大面积为1 944m2.【点评】在利用基本不等式求函数的最值时,一定要注意验证基本不等式成立的三个条件,即一正二定三相等.如果等号成立的条件不具备,就应该研究函数的单调性来求函数的最值.在实际问题中,由实际意义得出的变量取值范围十分重要.变式某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2 000m2.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元,从第二层开始,每一层的建筑费
8、用比其下面一层每平方米增加100元.(1) 若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达式(总开发费用=总建筑费用+购地费用);(2) 要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层?【解答】(1) 由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为4 0002 000=8 000 000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多1002 000=200 000(元)=20(万元),所以写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项,20为公差的等差数列,所以函数表达式为:y=f(x)=800x+20+9000=10x2+790x+9 000
9、(xN*).(2) 由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为:g(x)=10 000=5050(2+79) =6 950(元).当且仅当x=,即x=30时等号成立.答:该写字楼建为30层时,每平方米平均开发费用最低.利用基本不等式求参数的值(范围)例4若对满足条件x+y+3=xy(x0,y0)的任意x,y,(x+y)2-a(x+y)+10恒成立,则实数a的取值范围是. 【分析】由(x+y)2-a(x+y)+10恒成立,通过分离参数,得a(x+y)+,转化为求式子(x+y)+的最小值,关键是先确定x+y的取值范围,而x+y的取值范围则可以借用例1的方法进行处理.【答案】【解析】方法一:由x+y+3
10、=xy(x0,y0),得所以y1,同理有x1.对x+y+3=xy(x1,y1)变形,得(x-1)(y-1)=4(x1,y1),结合均值不等式有(x-1)+(y-1)2=2=4(当且仅当x=y=3时取等号),即x+y6.令t=x+y,则t6,那么(x+y)+=t+,设f(t)=t+,则f(t)=1-=在6,+)上恒有f(t)0成立,所以f(t)在6,+)上为单调增函数,则f(t)min=f(6)=6+=,所以a,即实数a的取值范围是.方法二:当x+y6时,令t=x+y,则t6,设f(t)=t2-at+1,则f(t)0在t6时恒成立,所以或所以a,即实数a的取值范围是.【点评】求参数的值或范围问题
11、,常有两种方法.其一是分离参数法,通过分离参数,转化为一边为参数,另一边为一个变量的代数式,于是问题就转化为不含参数的函数的最值问题求解,常用基本不等式来求最值;其二是函数思想,转化为求含参数的函数的最值问题求解.变式已知函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x恒成立,且f(1)=0.(1) 求函数f(x)的解析式;(2) 当0xax-5恒成立,求实数a的取值范围.【解答】(1) 令x=1,y=0,得f(1+0)-f(0)=(1+20+1)1=2,所以f(0)=f(1)-2=-2.令y=0,则f(x+0)-f(0)=(x+20+1)x=x2+x,所以f(x)=x2+x-2.(2) 由(1)知f(x)=x2+x-2,所以f(x)ax-5可化为x2+x-2ax-5,即axx2+x+3.因为x(0,2),所以a0时,1+x+1+2,当且仅当x=,即x=时取等号.所以=1+2,所以a1+2,即实数a的取值范围是(-,1+2).
