1、江西省九江市九江一中2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一选择题(12分5=60分)1.设集合,集合,则中所含整数的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】解指数不等式求得集合，由此求得，进而判断出中所含整数的个数.【详解】由，所以，所以，所以，所含整数为共个.故选：C【点睛】本小题主要考查指数不等式的解法，考查交集的概念和运算，属于基础题.2.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：A中函数在区间上单调递减；B中函数不是奇函数；C中函数不是奇偶函数；D中函数既是奇函数又在区间
2、上单调递增的函数考点：函数奇偶性单调性3.设,则,的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用“分段法”比较出三者的大小关系.【详解】，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.4.已知，是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】通过举反例可知A,B,C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知D正确.【详解】项，若，则或与相交，故项错误；项，若，则或与相交，故项错误；项，若，则，相交，异面都有可能，故项错误；项，若，由线面垂直的性质定理可知，故
3、项正确故选【点睛】本题主要考查了两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题.5.两条直线，互相垂直，则的值是（ ）A. 3B. -1C. -1或3D. 0或3【答案】C【解析】由题意，解得，故选C6.若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据在上的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，左减右增，所以且在上递减.故，解得，所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，考查指数函数单调性，考查分段函数单调性，属于基础题.
4、7.已知,为直角三角形中的三边长,为斜边长,若点在直线上,则的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】D【解析】【分析】写出勾股定理，将点坐标代入直线的方程，根据的几何意义，求得其最小值.【详解】由于，为直角三角形中的三边长，为斜边长，所以.由于点在直线上，表示直线上的点到原点的距离的平方，原点到直线的的距离为，所以的最小值为.故选：D【点睛】本小题主要考查勾股定理，考查点到直线的距离公式，属于基础题.8.在正四面体ABCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过点P作直线l平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：BC平面AMD Q点一
5、定在直线DM上其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】ABCD为正四面体且M为BC的中点，AMBC，DMBC，又AMDM=M，BC平面ADM，故正确。PQ平面BCD，BC平面BCD，PQBC，又PAMP平面AMD，又BC平面AMD，Q平面AMD，又平面AMD平面BCD=MD，QMD故正确。由得BC平面ADM，把MC作为四面体CMAD的高，为其底面在三角形中，故错误。故选A.9.已知圆C1：（x+a）2+（y2）2=1与圆C2：（xb）2+（y2）2=4相外切，a，b为正实数，则ab的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆与圆之间的位置
6、关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3利用基本不等式即可求出ab的最大值【详解】由已知，圆C1：（x+a）2+（y2）2=1的圆心为C1（a，2），半径r1=1圆C2：（xb）2+（y2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2圆C1：（x+a）2+（y2）2=1与圆C2：（xb）2+（y2）2=4相外切，|C1C2|=r1+r2即a+b=3由基本不等式，得故选B【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题10.已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递减,若,则不等式解集为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据为偶函数，判断出的单调区间
7、和零点，由此求得不等式解集.【详解】由于函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， ，所以在上递增且.所以或，解得或，所以不等式解集为.故选：B【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和奇偶性解不等式，属于基础题.11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图所提供的图形和数据可知：该几何体是一个底面是两直角边分别为直角三角形，高为的三棱锥，则其外接球的直径为，其表面积，应选答案B12.已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（ ）A. B. 或C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】先
8、根据幂函数定义解得m,再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.【详解】由题意，则，即，当时， ，又当时， ，解得，故选D【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空二填空题(4分5=20分)13.函数的定义域为 【答案】【解析】试题分析：由，得，故函数定义域为考点：函数定义域14.点和点的距离的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用两点间的距离公式列式，结合二次函数的形式求得距离的最小值.【详解】依题意，当时，故答案为：【点睛】
9、本小题主要考查两点间的距离公式，考查二次函数最值的求法，属于基础题.15.三条直线,围成一个三角形,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】要使三条直线能围成三角形，则不经过与的交点，且与都不平行，由此求得的的取值范围.【详解】由解得.直线不过点，即，解得.的斜率为，的斜率为，当时，直线与能围成三角形；当时，直线的斜率为，所以且，即且.由得的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查两条直线的交点坐标的求法，属于基础题.16.已知函数,则关于的方程的实根个数构成的集合为_.【答案】【解析】【分析】画出的图像.令，并画出图像，结合两个函数图像以及，判断出实根个数构成
10、的集合.【详解】画出图像如图所示.令，画出图像如图所示.由解得.由，解得.由解得.由，解得.由解得.由，解得.（1）当时，有解，且或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.（2）当时，有解，且或或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.（3）当时，有解，且或或或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.（4）当时，有解，且或或或，结合的图像可知，其中对应一个，其它三个都有两个与其对应，故此时有个实数根.（5）当时，有解，且或或，结合的图像可知，时没有与其对应，或时每个都有个与其对应，故此时有个实数根.（6）当时，有解，且或，有一个与其对应，有
11、两个与其对应，故此时有个实数根.（7）当时，有解，且，结合的图像可知，每个有两个与其对应，故此时有个实数根.综上所述，关于的方程的实根个数构成的集合为.故答案： 【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.三解答题(10分+12分5=70分)17.集合,全集为.(1)求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）根据补集和交集的概念和运算，求得.（2）先求得，再根据，求得的取值范围.【详解】（1）依题意，所以.（2）依题意，由于，所以.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算，考查根
12、据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.18.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，面，分别为，的中点（）求证：面；（）求点到面的距离【答案】（）证明见解析；（）【解析】【详解】（1）取中点，连结，分别为，中点，可证得，四边形是平行四边形，又平面，平面，面（2），19.已知函数.(1)用函数单调性的定义证明在区间上为增函数;(2)解不等式.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】（1）通过计算，证得在区间上为增函数.（2）利用的单调性，化简不等式，由此求得不等式的解集.【详解】（1）的定义域为.任取，则.当时，而，所以，所以在区间上为增函数.（2）由于，且由（1）知在区间上为增函数，所以
13、由可得，即，解得.【点睛】本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.20.已知圆上一点关于直线的对称点仍在圆上,直线截得圆的弦长为.(1)求圆的方程;(2)设是直线上的动点,是圆的两条切线,为切点,求四边形面积的最小值.【答案】(1);(2)4.【解析】【分析】（1）根据对称性判断出圆心在直线上，由此设出圆心坐标，利用弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的方程.（2）根据圆的切线的几何性质，判断出四边形面积最小时，垂直于直线，根据点到直线的距离公式求得的最小值，进而求得四边形面积的最小值.【详解】（1）由于圆上一点关于
14、直线的对称点仍在圆上，所以圆心在直线上，设圆心的坐标为，半径，依题意直线截得圆的弦长（其中是圆心到直线的距离，即.）所以，即，解得，所以圆心，.所以圆的方程为.（2），而，所以当最小时，最小，从而最小.的最小值为圆心到直线的距离，即，此时，也即的最小值为，所以四边形面积的最小值为.【点睛】本小题主要考查圆标准方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.如图甲,在平面四边形中,已知,现将四边形沿折起,使平面平面(如图乙),设点分别为棱的中点.(1)求证:平面;(2)设,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【
15、分析】（1）通过证明，由此证得平面.（2）证得，通过计算的体积，求得的体积.【详解】（1）折叠前：由于,，所以，.折叠后：由于平面平面，平面平面，所以平面，所以，由于，所以平面.（2）由于，所以.由于分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于三棱锥和三棱锥的高相等，故，即.而.所以.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.22.已知函数,.(1)当时,判断函数在上的单调性及零点个数;(2)若关于的方程有两个不相等实数根,求实数的取值范围.【答案】(1)在上为增函数,一个;(2).【解析】【分析】（1）当时，分别判断出和在上的单调性，由此判断出在上的单调性.利用零点存在性定理，判断出在区间上的零点个数.（2）化简方程，分离出常数，结合二次函数的性质，求得的取值范围.【详解】由，解得或.（1）由于，由于在上递增，根据复合函数单调性可知，在上递增，当时，在上递增，所以在上递增.由于，所以在区间上有个零点.（2）方程可化为，即，化简得，（或），画出（或）的图像如下图所示，要使有两个解，则需，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查根据方程解的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
