1、开卷速查(五十四)抛物线A级基础巩固练12014辽宁已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1C D解析：因为点A在抛物线的准线上，所以2，所以该抛物线的焦点F(2,0)，所以kAF，选C。答案：C22014课标已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2C4 D8解析：由题意知抛物线的准线为x。因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A。答案：A32016云南师大附中模拟已知P为抛物线y26x上一个动点，Q为圆x2(y6)2上一个动点，那么点P到点Q的距离与点
2、P到y轴距离之和的最小值是()A. B.C. D.解析：结合抛物线定义，P到y轴的距离为P到焦点的距离减去，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及，即为 ，故选B。答案：B42016孝感模拟直线l经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为()A5 B6C7 D8解析：设抛物线y24x的焦点为F，准线为l0，A(xA，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中点，其坐标为(xC，yC)，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线的定义得|AB|AF|BF|AM|BN|xA1xB1xAxB22xC28。答案：D52016郑州模
3、拟已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A2 B2C.1 D.1解析：F，设P，Q(y1y2)。由抛物线定义及|PF|QF|，得，所以yy，又y1y2，所以y1y2，所以|PQ|2|y1|2，|y1|1，所以|PF|2，解得p2。答案：A62016济南模拟已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为()A. B.C. D.解析：设抛物线C：y28x的准线为l：x2，直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)，如图过A，B分别作AMl于M，BNl于N，由|
4、FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|FA|，所以|OB|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，把B点坐标代入直线方程得k的值为。答案：C7已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点_。解析：因为动圆的圆心在抛物线y24x上，且x1是抛物线y24x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)。答案：(1,0)8过抛物线y24x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足 (O为坐标原点)，则BOF的面积是_。解析：由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为yk(x1)(可知k存在)，则
5、A(0，k)，B(1，k)，由点B在抛物线上，得k24，k2，即B(1，2)，SBOF|OF|yB|121。答案：19已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_。解析：设直线ya与y轴交于M点，若抛物线yx2上存在C点使得ACB90，只要以|AB|为直径的圆与抛物线yx2有除A，B外的交点即可，即使|AM|MO|，所以a，所以a1或a0，因为由题意知a0，所以a1。答案：1，)102016唐山统考已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，12。(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与
6、y轴相切时，求直线l的方程。解析：(1)设l：xmy2，代入y22px，得y22pmy4p0。(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24。因为12，所以x1x2y1y212，即44p12，得p2，抛物线的方程为y24x。(2)(1)中(*)式可化为y24my80，y1y24m，y1y28。设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m，所以，直线l的方程为xy20或xy20。B级能力提升练112015西安模拟已知抛物线x24y的焦点为F，过焦点F
7、且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线交于点M。(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列。(2)设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值。解析：(1)证明：由已知，得F(0,1)，显然直线AB的斜率存在且不为0，则可设直线AB的方程为ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得x24kx40，显然16k2160，所以x1x24k，x1x24。由x24y，得yx2，所以yx，所以直线AM的斜率为kAMx1，所以直线AM的方程为yy1x1(xx1)，又x4y1，所以直线AM的方程为x1x2(yy1)。同理，直线BM的
8、方程为x2x2(yy2)。并据x1x2得点M的横坐标x，即A，M，B三点的横坐标成等差数列。(2)由易得y1，所以点M的坐标为(2k，1)(k0)。所以kMF，则直线MF的方程为yx1，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，由消去y，得x2x40，显然160，所以x3x4，x3x44。又|AB|4(k21)，|CD|4。因为kMFkAB1，所以ABCD。所以S四边形ACBD|AB|CD|8(k21)832，当且仅当k1时，四边形ACBD面积取到最小值32。122015杭州模拟已知曲线C上的动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y2的距离小1。(1)求曲线C的方程；(2)动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A，B。直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由。解析：(1)因为动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y2的距离小1，所以动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离与直线l：y1的距离相等。所以曲线C是以F(0,1)为焦点，y1为准线的抛物线，所以曲线C的方程是：x24y。(2)设E(a，2)，切点为，由x24y得y，所以y，所以，解得：x0a，所以A，B，化简直线AB方程得：y2x，所以直线AB恒过定点(0,2)。
