1、3.1.2空间向量的数乘运算目标 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题重点 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题难点 证明线面平行与面面平行知识点一空间向量的数乘运算填一填答一答1空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同2类比平面向量，空间向量的数乘运算满足()aaa(，R)，对吗？提示：正确类比平面向量的运算律可知知识点二共线、共面定理填一填 答一答3ab是向量a与b共线的充要条件吗？提示：不是由ab可得出a，b共线，而由a，b共线不一定能得出ab，如当b
2、0，a0时4空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面5共面向量定理中为什么要求a，b不共线？提示：如果a，b共线，则p一定与向量a，b共面，却不一定存在实数组(x，y)，使pxayb，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a，b共线的情况6已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式xyz(其中xyz1)的点P与点A，B，C是否共面？提示：四点共面xyz1，x1yz，又xyz(1yz)yzy()z()yz，点P与点A，B，C共面1共线向量、共面向量不具有传递性2共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据定理
3、中的条件a0不可遗漏3直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反4空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面5向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立类型一空间向量的数乘运算【例1】设O为ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，试用向量，表示.【分析】将向量分解成，的线性组合的形式【解】由题意，可以作出如下图所示的几何图形在封闭图形ADOE中，有：，在AOD中，.在BOC中，.又，().又，将、代入可得：() ，.寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这
4、一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCDABCD中，设a，b, c，E和F分别是AD和BD的中点，用向量a，b，c表示，.解：bac.a(bc)a(ab)(ac)类型二空间向量的共线问题【例2】如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线【解】因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以.又因为，以上两式相加得2，所以，即与共线判断向量共线
5、就是充分利用已知条件找到实数，使ab成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出ab，从而得出ab.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明：设a，b，c.2，.b，()()abc.abc(abc)又bcaabc，所以E，F，B三点共线类型三空间向量的共面问题【例3】已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内【解】(1)3，()()，向量，共面(2)由(1)知向量，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，M，A，B，C
6、共面，即M在平面ABC内(1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.(2)向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面).已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面(2)BD平面EFGH.证明：如下图，连接EG，BG.(1)因为()，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面(2)因为，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.1下列命题中正确的是(C)A若a与b共线，b与c共线
7、，则a与c共线B向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若ab，则存在唯一的实数，使ab解析：A中，若b0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b0，a0，则不存在.2当|a|b|0，且a、b不共线时，ab与ab的关系是(A)A共面B不共面C共线 D无法确定解析：ab与ab不共线，则它们共面3设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为(A)A(，) B(，)C(，) D(，)解析：因为()()()()，而xyz，所以x，y，z.4已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由2确定的点M与A、B、C共面，则2.解析：M与A、B、C共面，则xyz，其中xyz1，结合题目有211，即2.5如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点证明：向量，是共面向量证明：().由向量共面的充要条件知，是共面向量