1、第47讲 概率分布 一选择题（共13小题）1（2021春阳东县校级期中）若，其中，则等于ABCD【解答】解：故选：2（2021春故城县校级期中）如果随机变量，且，则等于ABCD【解答】解：随机变量，且，解得故选：3（2021春兴庆区校级期末）变量的分布列如又图所示，其中，成等差数列，若，则的值是01ABCD【解答】解：，成等差数列，由变量的分布列，知：，解得，故选：4（2021浙江一模）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为ABCD【解
2、答】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有，故故选：5（2021春馆陶县校级期中）已知，随机变量的分布列如下，则当增大时01A增大，增大B减小，增大C增大，减小D减小，减小【解答】解：，当增大时，减小，在上随的增大而增大，故选：6（2021榆林一模）设，随机变量的分布01则当在内增大时，A增大，增大B增大，减小C减小，增大D减小，减小【解答】解：当在内增大时，减小，数据分布整体变小，数据更集中，所以减小，减小，故选：7（2021柯桥区二模）
3、已知随机变量满足，2若，则A，B，C，D，【解答】解：由数学期望与方差的性质可知：，则，因为，所以，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，又因为0 ，所以，则，所以，因为所以，故选：8（2021春菏泽期中）抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，则等于ABCD【解答】解：抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，基本事件总数，包含的基本事件有：，共6个，故选：9（2021春故城县校级期末）已知随机变量的分布列为，2，则等于ABCD【解答】解：随机变量的分布列为，2，则故选：10（2021春林芝地区期末）已知随机变量 的分布列为 130.160.440.40则A1.32B1.71C2.94D
4、7.64【解答】解：由随机变量 的分布列，得：，故选：11（2021浙江模拟）已知，随机变量，的分布列如下：01210则下列正确的是ABC D 【解答】解：，恒成立，依题意，与不能说明大小关系所以同理：，故选：12（2021西湖区校级模拟）已知，为实数，随机变量，的分布列如下：0101若，随机变量满足，其中随机变量相互独立，则取值范围的是ABC，D【解答】解：，又，解得：，随机变量满足，其中随机变量相互独立，则故选：13（2021春滨湖区校级期中）已知随机变量的分布列是：0123当变化时，下列说法正确的是A，均随着的增大而增大B，均随着的增大而减小C随着的增大而增大，随着的增大而减小D随着的增
5、大而减小，随着的增大而增大【解答】解：；又因为，即，所以随着的增加而增加，随着的增加而增大故选：二多选题（共1小题）14已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，且，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中（a）放入个球后，甲盒中含有的红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为则ABCD【解答】解：，故，故，即对错；，则，故，故错对；故选：三填空题（共3小题）15（2021春大荔县期末）设随机变量的分布列为，2，3，则的值为【解答】解：随机变量的分布列为，2，3，由离散型随机变量的分布列的性质得：，解得故答案为：16（2021春岳麓区校级月考）设随机变量的分布列为，则
6、的值为【解答】解：因为随机变量的分布列为，所以根据分布列的性质有，所以，解得故答案为：17（2021温岭市校级期中）已知，随机变量的分布列如表若时，；在的变化过程中，的最大值为012【解答】解：；，时，取最大值，此时故答案为：，2四解答题（共12小题）18（2013春北辰区校级期中）甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；（2）比赛进行完七局的概率（3）记比赛局数为，求的分布列及数学期望【解答】解：（1）乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，其概率二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，其概率，所以乙胜
7、概率为（2）比赛进行完7局有两种情况：一是甲胜，第3局到第6局中甲胜一局，第7局甲胜，其概率二是乙胜，同（1）中第二种情况，比赛进行完七局的概率为：（3）由题意得，5，6，7，所以的分布列为456719（2021春潍坊期中）甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们每一局获胜的概率均为，且每局比赛互补影响，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：（）乙取胜的概率；（）设比赛局数为，求的分布列【解答】解：（）当甲先胜了前两局时，乙取胜的性质有两种：第一种是乙连胜三局，第二种是在第三局到第六局，乙胜了三局，第七局乙胜，第一种情况下乙取胜的概率为：，第二种情况下乙取值的概率为：，甲先赢了
8、前两局，乙取胜的概率：（）由已知得的可能取值为4，5，6，7，的分布列为： 4 5 6 7 20（2013秋赣州期末）甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为现已赛完两局，乙暂时以领先（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的总局数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望【解答】解（1）甲获得这次比赛胜利情况有二，一是比赛六局结束，甲连续赢了四局，一是比赛了七局，甲在后五局中赢了四局，且最后一局是甲赢，由此得甲获得这次比赛胜利的概率为，甲获得这次比赛胜利的概率（2）随机变量的所有可能取值为4，5，6，7，随机变量的
9、分布列为4567随机变量的数学期望为21（2021春东城区期末）甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是，假设每局比赛结果相互独立（）比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；（）比赛采用三局两胜制，设随机变量为甲在一场比赛中获胜的局数，求的分布列和均值；（）有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制问哪个方案对甲更有利（只要求直接写出结果）【解答】解：（）甲获得比赛胜利包含二种情况：甲连胜二局；前二局甲一胜一负，第三局甲胜甲获得比赛胜利的概率为：（）由已知得的可能取值为0，1，2，随机变量
10、的分布列为： 0 1 2 数学期望（）方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制方案二对甲更有利22（2021浙江模拟）一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望【解答】解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件，则（A），拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况，（5分）（2）的可能取值为，0，2，4，则；，分布列为024（14分）23（2008西城区一模）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，
11、3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分现从盒内任取3个球（）求取出的3个球颜色互不相同的概率；（）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望【解答】（）解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有种结果，而满足条件取出的3个球颜色互不相同有种结果，记“取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件，由古典概型公式得到（）解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有种结果，而满足条件取出的3个球得分之和恰为1分有两种种结果，包括
12、取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球记“取出1个红色球，2个白色球”为事件，有种结果“取出2个红色球，1个黑色球”为事件，有种结果，其中它们之间是互斥事件，（）解：可能的取值为0，1，2，3，的分布列为：的数学期望24（2014南开区二模）已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同）现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中（）求第二次取出红球的概率；（）求第三次取出白球的概率；（）设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的分布列和数学期望【解答】解：（）设第次取出白球、红球的概率分别为，第二次取出红球的概
13、率（）三次取的过程共有以下情况：白白白、白红白、红白白、红红白，第三次取出白球的概率是：（）连续取球三次，得分的情况共有8种：，的分布列为： 15 18 21 24 25（2016汕头模拟）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是（）若袋中共有10个球，求白球的个数；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望（）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于并指出袋中哪种颜色的球个数最少【解答】解：（）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件，设袋中白球个数为，则
14、（A），解得，白球个数是5个随机变量的取值为0，1，2，3，的分布列为： 0 1 2 3 证明：（）设袋中有个球，其中个黑球，由题意，得，记“从袋中任意取出两个球，至少有1个黑球”为事件，则（B），白球的个数比黑球多，白球个数多于，黑球个数少于，故袋中红球个数最少26（2021洛阳期末）袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球个；现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分（1）若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望和方差分别为和，求；（2）在（1）的条件下，当袋子中球的总数最少时，从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和大于等于
15、6的概率【解答】解：（1）由已知得的分布列为： 1 2 3 故，由解得，（2）结合（1）知，当袋子中球的总数量少时，红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，共6个球，从中任取3个，得分之和记为，则，27（2013天元区校级模拟）某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资（1）求该公司决定对该项目投资的概率；（2）求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有
16、一张“中立”票的概率【解答】解：（1）该公司决定对该项目投资的概率为（2）该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件003事件102事件111事件012（A），（B），（C），（D），、互斥，（A）（B）（C）（D）28（2021长沙月考）有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三只小球逐个随机地放入四个盒子中，每只球的放置相互独立（1）求三只小球恰在同一个盒子中的概率；（2）求三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录所有至少有一只球的盒子，以表示这些盒子编号的最小
17、值，求【解答】解：（1）记“三只小球恰在同一个盒子”为事件，则（A）；（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件，则，事件，互斥，（B）；（3）的可能取值为1，2，3，4，则29（2021江阴市校级月考）潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个
18、品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案：方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测若结果不合格，则表明不合格批次就在这3个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取1个批次检测（1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率；（2）求方案甲检测次数的分布列；（3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由【解答】解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率；（2）依题意知检测次数的可能取值为1，2，3，4，故法案甲检测次数的分布列为：1234（3）设方案乙检测次数为，则的可能取值为2，3，当时的情况为先解出3个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好1次检测出，或先解出3个批次为合格，再从其他2个批次中取出1个批次解出，则，所以，故方案乙检测次数的分布列为：23数学期望为，则，因为，所以方案乙的效率更高
