1、开卷速查(四十六)立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直A 级 基础巩固练1如图，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点，PAAB1，BC2.求证：(1)EF平面 PAB；(2)平面 PAD平面 PDC.证明：(1)以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E12，1，12，F0，1，12，EF12，0，0，PB(1,0，1)，PD(0,2，1)，AP(0,0,1
2、)，AD(0,2,0)，DC(1,0,0)，AB(1,0,0)EF12AB，EFAB，即 EFAB，又 AB平面 PAB，EF平面 PAB，EF平面 PAB.(2)APDC(0,0,1)(1,0,0)0，AD DC(0,2,0)(1,0,0)0，APDC，AD DC，即 APDC，ADDC.又 APADA，DC平面 PAD.DC平面 PDC，平面 PAD平面 PDC.2如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2，AF1，M 是线段 EF 的中点求证：(1)AM平面 BDE；(2)AM平面 BDF.证明：(1)以 C 为坐标原点，CD，CB，CE 所在直线为
3、x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ACBDN，连接NE.则点 N，E 的坐标分别为22，22，0，(0,0,1)NE 22，22，1.又点 A，M 的坐标分别是(2，2，0)，22，22，1，AM 22，22，1.NEAM 且 NE 与 AM 不共线NEAM.又NE平面 BDE，AM平面 BDE，AM平面 BDE.(2)由(1)知AM 22，22，1，D(2，0,0)，F(2，2，1)，DF(0，2，1)AM DF 0.AM DF.同理可证AM BF.又 DFBFF，DF，BF平面 BDF，AM平面 BDF.B 级 能力提升练3在四棱锥 P-ABCD 中，PD底面 AB
4、CD，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E、F 分别是 AB、PB 的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证明你的结论解析：(1)证明：如图，以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 ADa，则 D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、Ea，a2，0、P(0,0，a)、Fa2，a2，a2.EFa2，0，a2，DC(0，a,0)EFDC 0，EFDC，即 EFCD.(2)设 G(x,0，z)，则FG xa2，a2，za2，若使 GF平面 PCB，则由FG CBxa2，a2，
5、za2(a,0,0)axa20，得 xa2；由FG CPxa2，a2，za2(0，a，a)a22 aza20，得 z0.G 点坐标为a2，0，0，即 G 点为 AD 的中点4如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE平面 ABCD，AFDE，DE3AF，BE 与平面 ABCD 所成角为 60.(1)求证：AC平面 BDE；(2)设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定 M 的位置，使得 AM平面 BEF，并证明你的结论解析：(1)DE平面 ABCD，DEAC.ABCD 是正方形，ACBD.从而 AC平面 BDE.(2)DA，DC，DE 两两垂直，建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示BE 与平面 ABCD 所成角为 60，即DBE60，EDDB 3.正方形 ABCD 的边长为 3，BD3 2，DE3 6，AF 6.则 A(3,0,0)，F(3,0，6)，E(0,0,3 6)，B(3,3,0)，C(0,3,0)BF(0，3，6)，EF(3,0，2 6)设平面 BEF 的法向量为 n(x，y，z)，则nBF0，nEF0，即3y 6z0，3x2 6z0，令 z 6，则 n(4,2，6)点 M 是线段 BD 上一个动点，设 M(t，t,0)，则AM(t3，t,0)AM平面 BEF，AM n0.即 4(t3)2t0，解得 t2.此时，点 M 为(2,2,0)，BM13BD，符合题意
