1、示范教案21.1.1变量与函数的概念教学分析在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念三维目标1会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号yf(x)的含义2通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力3启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识4掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体
2、会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：符号“yf(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值课时安排1课时导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整，万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空，5天后圆满完成各项任务并顺利返回在“神舟”六号飞行期间，我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量的描述和研究，引出课题思路2.问题：已知函数y请用初中所学函数的定义
3、来解释y与x的函数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题推进新课(1)给出下列三种对应：(幻灯片)一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h130t5t2.时间t的变化范围是数集At|0t26，h的变化范围是数集Bh|0h845，则有对应f：th130t5t2，tA，hB.近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106 km2)随时间t(单位：年)从19792001年的变化情况根据图中的曲线
4、可知时间t的变化范围是数集At|1979t2001，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集BS|0S26，则有对应：f：tS，tA，SB.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间t19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数y53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根据上表，可知时间t的变化范围是数集At|1
5、991t2001，恩格尔系数y的变化范围是数集BS|37.9S53.8，则有对应：f：ty，tA，yB.以上三个对应有什么共同特点？(2)阅读教材上的三个例子，用集合的观点给出函数的定义(3)如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？(4)什么是区间？(5)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(6)函数有意义指什么？(7)函数f：AB的值域为C，那么集合BC吗？活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性讨论结果：(1)共同特点是：集合A、B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：AB下，在数集B中都有唯一确
6、定的元素y与之对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量(2)定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数记作yf(x)，xA.其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作yf(a)或y|xa.所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域函数yf(x)也经常写作函数f或函数f(x)因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则(3)根据以上定义，
7、我们要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：定义域和对应法则是否给出；根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.(4)在研究函数时常会用到区间的概念，设a，b是两个实数，且ab，如下表所示：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间x|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，bx|xaa，)x|xa(a，)x|xa(，ax|xa(，a)R(，)(5)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围(6)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0，被开方数为非负数，如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值，等等(
8、7)CB.思路1例1 已知函数f(x)，(1)求函数的定义域；(2)求f(3)，f()的值；(3)当a0时，求f(a)，f(a1)的值活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使和有意义的自变量的取值范围；有意义，则x30，有意义，则x20，转化为解由x30和x20组成的不等式组(2)让学生回想f(3)，f()表示什么含义？f(3)表示自变量x3时对应的函数值，f()表示自变量x时对应的函数值分别将3，代入函数的对应法则中得f(3)，f()的值(3)f(a)表示自变量xa时对应的函数值，f(a1)表示自变量xa1时对应的函数值分别将a
9、，a1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a1)的值解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得3x2或x2，即函数的定义域是2g(x)5等符号yf(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m是常数时，f(m)表示自变量xm对应的函数值，是一个常量已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合(3)如果
10、f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.变式训练1求函数f(x)的定义域解：要使已知函数有意义，当且仅当x10.所以，这个函数的定义域是x1的所有实数，即(1，)2求函数f(x)，xR，在x0,1,2处的函数值和值域解：f(0)1，f(1)，f(2).容易看出，这个函数当x0时，函数取得最大值1，当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于0，但永远不会等于0.于
11、是可知这个函数的值域为集合y|y，xR(0,1.例2 (1)已知函数f(x)x2，求f(x1)；(2)已知函数f(x1)x2，求f(x)分析：(1)函数f(x)x2，即xx2，表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值，与我们选择什么符号表达自变量没有关系函数yy2，tt2，uu2，都表示同一个函数关系同样自变量换为一个代数式，如x1，平方后对应的函数值就是(x1)2.这里f(x1)表示自变量变换后得到的新函数(2)为了找出函数yf(x)的对应法则，我们需要用x1来表示x2.解：(1)f(x1)(x1)2x22x1；(2)因为f(x1)x2(x1)22(x1)1，所以f(t)t22t1，即f(x
12、)x22x1.点评：已知f(x)求f(g(x)，用g(x)替换f(x)中的x，即可得f(g(x)；已知f(g(x)，求f(x)，利用配凑法求解还可利用换元法例如(2)另解：设x1t，则xt1，f(t)(t1)2t22t1，f(x)x22x1.变式训练1已知f(x)x，求f(x2x)答案：f(x2x)x2x.2已知f(x1)x2x1，求f(x)答案：f(x)x23x3.思路2例1已知函数f(x)，那么f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()_.活动：观察所求式子的特点，引导学生探讨f(a)f()的值解法一：原式.解法二：由题意得f(x)f()1，则原式111.点评：本题主要考查对函数符
13、号f(x)的理解对于符号f(x)，当x是一个具体的数值时，相应地f(x)也是一个具体的函数值本题没有求代数式中的各个函数值，而是看到代数式中含有f(x)f()，故先探讨f(x)f()的值，从而使问题简单地获解求含有多个函数符号的代数式值时，通常不是求出每个函数值，而是观察这个代数式的特点，找到规律再求解受思维定势的影响，本题很容易想到求出每个函数值来求解，虽然可行，但是这样会浪费时间，得不偿失其原因是解题前没有观察思考，没有注意经验的积累.变式训练1已知a、bN，f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则_.解析：令ax，b1(xN)，则有f(x1)f(x)f(1)2f(x)，即有2(xN)所
14、以，原式4 012.答案：4 0122设函数f(n)k(kN)，k是的小数点后的第n位数字，3.141 592 653 5，则_.解析：由题意得f(10)5，f(5)9，f(9)3，f(3)1，f(1)1，则有1.答案：1例2 已知Aa，b，c，B1,0,1，函数f：AB满足f(a)f(b)f(c)0，则这样的函数f(x)有()A4个 B6个 C7个 D8个活动：学生思考函数的概念，什么是不同的函数定义域和值域确定后，不同的对应法则就是不同的函数，因此对f(a)，f(b)，f(c)的值分类讨论，注意要满足f(a)f(b)f(c)0.解析：当f(a)1时，则f(b)0，f(c)1或f(b)1，f
15、(c)0，即此时满足条件的函数有2个；当f(a)0时，则f(b)1，f(c)1或f(b)1，f(c)1或f(b)0，f(c)0，即此时满足条件的函数有3个；当f(a)1时，则f(b)0，f(c)1或f(b)1，f(c)0，即此时满足条件的函数有2个综上所得，满足条件的函数共有2327(个)答案：C点评：本题主要考查对函数概念的理解，用集合的观点来看待函数.变式训练1若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”那么解析式为yx2，值域是1,4的“同族函数”共有()A9个 B8个C5个 D4个解析：“同族函数”的个数由定义域的个数来确定，此题中每个“同族函数”的定
16、义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数令x21，得x1；令x24，得x2.所有“同族函数”的定义域分别是1,2，1，2，1,2，1，2，1，1,2，1，1，2，1，2,2，1，2,2，1，1，2,2，则“同族函数”共有9个答案：A1已知函数f(x)满足：f(pq)f(p)f(q)，f(1)3，则_.解析：f(pq)f(p)f(q)，f(xx)f(x)f(x)，即f2(x)f(2x)令q1，得f(p1)f(p)f(1)，f(1)3.原式2(33333)30.答案：302若f(x)的定义域为A，g(x)f(x1)f(x)的定义域为B，那么()AABBBABCAB DAB解析：由题意得
17、Ax|x0，Bx|x0，且x1则ABA，则A错；ABB，则D错；由于BA，则C错答案：B3已知函数f(x)的定义域是，则函数f(2x1)的定义域是_解析：要使函数f(2x1)有意义，自变量x的取值需满足12x11，0x1.答案：4求函数y的定义域答案：x|x1，且x1点评：本题容易错解：化简函数的解析式为yx1，得函数的定义域为x|x1其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式5某山海拔7 500 m，海平面温度为25 ，气温是高度的函数，而且高度每升高100 m，气温下降0.6 .请你用解析表达
18、式表示出气温T随高度x变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域活动：学生思考初中所学函数解析表达式的含义，即用自变量表示因变量，并明确函数的定义域和值域解：当高出海平面x m时，温度下降了0.6()，则函数解析式为T(x)2525x.函数的定义域为，值域为点评：本题考查函数的概念，以及在实际生活中的应用能力问题：已知函数f(x)x21，xR.(1)分别计算f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(3)f(3)的值(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明活动：让学生探求f(x)f(x)的值分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明解：(1)f(1)f(1)(121)220；f(2)f
19、(2)(221)550；f(3)f(3)(321)10100.(2)由(1)可发现结论：对任意xR，有f(x)f(x)证明如下：由题意得f(x)(x)21x21f(x)对任意xR，总有f(x)f(x)本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解课本本节练习A6、7、8.本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要(设计者：高建勇)
