1、湖北省重点高中智学联盟2020-2021学年高一数学下学期5月联考试题考试时间：2021年5月20日下午15:00-17:00 试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）A B C D2若复数满足（是虚数单位），则复数的虚部为（ ）ABCD3. 下列命题中，正确的是（ ）A， B ， C，D ，4.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三
2、角形面积的最大值为（ ）A10B12C14D165. G是的重心，分别是角的对边，若，则（ ）A B CD6.下列函数中，有对称中心或对称轴的有（ ）， ， A3个B2个C1个D0个7. 若，是两个不同的平面，下列四个条件：存在一条直线，； 存在一个平面，；存在两条平行直线，；存在两条异面直线，.那么可以是的充分条件有（ ）A4个B3个C2个D1个8.如图所示，一个棱长为的正四面体，沿棱的四等分点作平行于底面的截面，截去四个全等的棱长为的正四面体，得到截角四面体，则该截角四面体的体积为（ ） 二、多选题（部分选对得2分，选错或者不选得0分，全对得5分，共20分）9. 设锐角的内角所对的边分别为
3、，若，则的值不可能为（ ） 10. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为，在的仿射坐标系中，则下列结论中，正确的是（ ） A BCD11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面使 A1C平面，分别与棱BC，CD交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）ACPCMCN B存在点P，使得AC1平面C存在点P，使得点A1到平面的距离为D用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形12. 已知函数，其中实数 ，则下列关于的方程的实数根的情
4、况，说法正确的有（ ）Aa 取任意实数时，方程最多有4个根 B当时，方程有3个根C当 时，方程有3个根 D当时，方程有4个根三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设都是锐角，且，则_.14. 幂函数,，满足，则下列幂函数满足上述性质的有_（填序号）15. 已知和中，若“”是“”的充要条件，则的范围为_.16. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且满足直线平面,当直线与平面所成角最小时，记过点的平面截正方体所得到的截面为，则截面的周长为_.四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）.计算：
5、 解方程：18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，求B的大小；若，且，是边的中线，求长度19. 在正四棱柱中，为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值20.已知函数，点时直线与函数的图像自左至右的某三个的相邻交点，且.将的图像向左平移个单位，得到的函数关于原点对称.求函数的解析式. 若对，以的值为边长可以构成一个锐角三角形，求实数的取值范围。21. 如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连接并延长交于点作交于证明：是的中点证明：面过点作面，为垂足，求三棱锥的外接球体积22对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同
6、比不减函数”求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数,使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由湖北省重点高中智学联盟高一年级月联考数学试题答案选择题： 填空题： 或原式= 5分方程可变为，两边开方得：，故10分解：因为，即即，所以，故6分法一：中线公式：由，故又，则故，故12分法二：，则，故，又即12分解：连接，连接，在中，又面，面，故面6分因为面，故面作于，连接，则即为二面角的平面角在中，且，故在中，故故二面角的余弦值为12分解：（1）函数，由，解得 将
7、的图像向左平移个单位得到关于原点对称，6分当时，又题意知，要构成锐角三角形，则要使对于任意的恒成立.成立.即，即，12分因为面，面，故又面，面，故且，故面，又面，故，三棱锥为正三棱锥，故故为边中线，是的中点4分因为三棱锥为正三棱锥，故各侧面都是全等的等腰三角形且，故，且，所以面又，故面8分作且，则面，因为为中点，且为正中心，所以三点共线，且，又所以，又，所以在中，即，所以，故，又，故因为面，所以，且面，故，故面，故取中点，在和中，故为三棱锥的外接球球心， ，记三棱锥的外接球半径为，三棱锥的外接球体积12分证明：任取正常数，存在，所以，因为，即不恒成立，所以不是“同比不减函数”. 3分因为函数是“同比不减函数”，所以恒成立，即恒成立，对一切成立.所以.7分已知当时，为奇函数，根据对称性可的图像如下图：根据图像易得：要使对于任意的恒成立，只需对于任意恒成立.即可. 12分
