1、2.4.1抛物线及其标准方程目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程重点 抛物线的定义及其标准方程的应用难点 抛物线标准方程的四种形式知识点一抛物线的定义填一填平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线答一答1在抛物线定义中，若去掉条件“l不经点F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线2抛物线定义中有“一个动”及“三个定”，分别指什么？提示：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线
2、的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于1)，定值实现了距离间的转化，为解题带来了方便知识点二抛物线的标准方程填一填答一答3抛物线标准方程中的参数p有什么作用？提示：参数p称为焦准距或焦参数，可根据p求出抛物线的焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程时，也只需确定参数p.4如何记忆抛物线的四种标准方程？提示：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右
3、5抛物线的标准方程y22px(p0)与二次函数yax2(a0)有什么区别？提示：y22px(p0)与yax2(a0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样y22px(p0)：焦点(，0)，对称轴为x轴；yax2(a0)，即x2y，焦点(0，)，对称轴为y轴1对抛物线定义的理解(1)定义条件：直线l不经过定点F.(2)一动三定：“一动”，即动点P；“三定”，即定点F，定直线l和定值，也就是P到定点F与到定直线的距离的比值是定值1.2抛物线标准方程的特点(1)方程特点：抛物线的标准方程是关于x，y的二元二次方程，等号的左边是其中一个变量的平方，另一边是另一个变量的一次项(2)参数p：在
4、抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭(3)四种标准方程的位置的相同点：原点在抛物线上；焦点在坐标轴上；准线与焦点在原点两侧，且准线与其中一条坐标轴垂直.类型一求抛物线的焦点及准线【例1】指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向(1)yx2；(2)xay2(a0)【分析】首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p.再写出焦点坐标和准线方程【解】(1)抛物线yx2的标准形式为x24y，p2，焦点坐标是(0,1)，准线方程是y1.抛物线开口向上(2)抛物线方程的标准形式为y2x，2p.当a0时，抛物线开口向
5、右，焦点坐标是，准线方程是x；当a0时，开口向右；a0)，将点(3,2)代入方程得2p或2p，故抛物线方程为y2x或x2y.(2)令x0，由方程x2y40得y2，抛物线的焦点坐标为(0，2)设抛物线方程为x22py(p0)，则由2，得2p8，所求抛物线的方程为x28y.令y0，由x2y40得x4，抛物线的焦点坐标为(4,0)设抛物线方程为y22px(p0)，由4得2p16，所求抛物线的方程为y216x.(3)由题意可得p，则所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y.求抛物线的标准方程的关键与方法 (1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数. (2)方法：直接法，建立
6、恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；直接根据定义求p，最后写标准方程；利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数.根据下列条件求抛物线的标准方程，并求其准线方程(1)已知抛物线的焦点是F(3,0)；(2)已知抛物线的焦点在y轴的正半轴上，焦点到准线的距离为3.解：(1)由题意，设抛物线方程为y22px(p0)3，p6.故抛物线的标准方程为y212x，其准线方程为x3.(2)由题意，设抛物线方程为x22py(p0)p3，故抛物线的标准方程为x26y，其准线方程为y.类型三抛物线定义的应用【例3】O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|
7、PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4【分析】由条件及抛物线的定义求出点P的横、纵坐标，则POF的面积易得【解析】由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线的定义知|PF|PM|，又|PF|4，所以xP3，代入抛物线方程求得yP2，所以SPOF|OF|yP2.【答案】C抛物线中经常把点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，然后根据平面几何的有关知识求解.若抛物线y22px(p0)上有一点M.其横坐标为9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标解：由抛物线定义，焦点为F(，0)，准线为x，由题意设M到准线的距离为|MN|，则|MN|MF|
8、10，即(9)10，p2.故抛物线方程为y24x，将M(9，y)，代入y24x，解得y6，M(9,6)或M(9，6)类型四素养提升抛物线方程的实际应用【例4】某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【思路分析】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x2时的y值【精解详析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)设抛物线的方程是x22py(p0)，由题意知点A(4，5)在抛物线上，故162p(
9、5)p，则抛物线的方程是x2y(4x4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于点B、B时，木船开始不能通航，设B(2，y)则22yy.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航【解后反思】本题以应用问题描述为载体，利用待定系数法求抛物线方程，解题中利用点与坐标、曲线与方程的对应关系，融进参数的讨论，富有新意解决实际问题时，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键，坐标系的选择直接关系到解题的繁简程度如下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽2米解析：设水面与桥的一个交点为A，如图建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，2)设抛物线
10、方程为x22py(p0)，则222p(2)，得p1，故抛物线方程为x22y.设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x0，3)，则x6，x0，所以水面宽为2米1焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是(B)Ay220xBx220yCy2xDx2y解析：由5得p10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x22py，所以x220y.2以直线3x4y120与x轴的交点为焦点的抛物线的方程为(A)Ay216xBy216xCy212xDy212x解析：因为焦点为直线3x4y120与x轴的交点，所以令y0，得x4，则焦点为(4,0)，故所求抛物线的方程为y216x.3若双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则m6.解析：抛物线焦点为(3,0)，3且m0，则m6.4抛物线y216x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|13.解析：由于点P到x轴的距离为12，可知点P的纵坐标为12，点P的横坐标x9.由抛物线的定义知|PF|x9413.5求抛物线x2y上到直线2xy40的距离最小时的点P的坐标解：设点P(x，y)，则x2y.P到直线2xy40的距离为d|2xx24|x22x4|(x1)23当x1时，d最小，此时y1，P(1,1)为所求
