1、陕西省宝鸡中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）说明：1.本试题分I，II卷，第I卷的答案按照A，B卷的要求涂到答题卡上，第I不交；2.全卷共三大题22小题，满分150分，120分钟完卷.第I卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，选D2.已知，则（ ）A. 11B. 9C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】将该系数和补充，即可知为二项式系数和，由二项展开式二项式系数和性质即可求得的值.【详解】已知，则，由二项式系数和性质可知，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查了二项
2、式系数和性质的简单应用，属于基础题.3.点的直角坐标是，则点的极坐标为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用直角坐标和极坐标的互化公式进行求解.【详解】由可得；，结合点所在的象限，可得，对照选项可得B正确.【点睛】本题主要考查直角坐标和极坐标的相互转化，直角坐标化为极坐标时注意角的多样性.4.极坐标方程表示的曲线是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线【答案】B【解析】【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，再根据直角坐标方程判断曲线的形状即可.【详解】极坐标方程，两边同时乘以，可得，因为，代入上式可得，化简变形可得，即，所以曲线表示的图形为圆，故选：B.【点睛】本题考
3、查了极坐标与直角坐标方程的转化，曲线形状的判断，属于基础题.5.已知a0，1b0，那么下列不等式成立的是（）A. aabab2B. abaab2C. abab2aD. ab2aab【答案】C【解析】当时,选项A、B、D都不成立，所以可排除选项A、B、D，故选C.6.若点在以点为焦点抛物线为参数）上，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：把抛物线的参数方程（为参数）化成普通方程为，因为点在以点为焦点的抛物线上，由抛物线的定义可得故选C.考点：抛物线的定义域参数方程的应用.【方法点晴】本题通过抛物线的参数方程考查了其定义得应用，属于基础题.解决圆锥曲线参数方程的应用问题往往
4、通过消去参数把参数方程化为普通方程，转化为普通方程后，问题就容易理解了.对于抛物线上的点到焦点的距离问题，往往优先考虑抛物线的定义，根据焦半径公式即可求得的值，从而避免解方程组，提高解题速度和准确率.7.若不等式|ax+2|6的解集为（1，2），则实数a等于（ ）A. 8B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】利用不等式的解集和对应方程的根的关系来求解.【详解】因为的解集为，所以和是方程的根，所以解得.故选：C.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，明确不等式的解集和对应方程的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.8.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋
5、中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X，则P(X2)()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】X=2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，故，故选D.9.若，则（ ）A. 256B. 364C. 296D. 513【答案】B【解析】【分析】利用赋值法，分别令代入求得部分系数及系数和，即可求解.【详解】，令，代入可得，令，代入得，即，令，代入得，即，两式相加可得，则，故选：B.【点睛】本题考查了赋值法求二项式部分系数和的简单应用，属于基础题.10.曲线（为参数）的焦点坐标为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】消
6、去参数，将参数化为直角坐标方程，根据椭圆的简单几何性质即可求解.【详解】由曲线，所以，即. 焦点在轴上，所以椭圆的焦点坐标为或.故选：A【点睛】本题考查了参数方程化为直角坐标方程、椭圆的简单几何性质，属于基础题.11.将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】考点：条件概率与独立事件分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率代入算式得到结果解：P（A|B）=P（AB）P（B），P（AB）=P（B
7、）=1-P（）=1-=1-=P（A/B）=P（AB）P（B）=故选A12.已知点是曲线（为参数）上任意一点，则的最大值为（ ）A. 6B. 5C. 36D. 25【答案】C【解析】【分析】消去参数，将参数方程化为普通方程：，问题转化为圆心到的距离与圆的半径之和的平方即可求解.【详解】由曲线，圆心为，半径，两点间的距离为：，表示圆上的点到定点距离最大值的平方，故的最大值为.故选：C【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、两点间的距离公式，属于基础题.第II卷 （非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.曲线 （为参数）的离心率为_【答案】【解析】【分析】消去参数，将
8、参数方程化为双曲线普通方程，由双曲线离心率即可求解.【详解】，可得，即，由，则，所以， 所以.故答案为：【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题.14.在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为_【答案】1【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心为，点是圆外一点，所以的最小值就是.【考点】极坐标与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系【名师点睛】（1）熟练运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可转化为在直角坐标系的情境下进行15.若对于任意，不等式恒成
9、立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意结合绝对值三角不等式可得的最小值为2，再利用恒成立问题的解决方法即可得解.【详解】由题意结合绝对值三角不等式可得，当时，等号成立，又因为对于任意的，不等式恒成立，所以，所以实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于基础题.16. 已知x，y之间的一组数据如下表：x23456y34689 对于表中数据，现给出如下拟合直线：yx1；y2x1；yx；yx则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是 （填序号）【答案】【解析】试题分析：本题为选择填空题，可用排除法，根据最小二乘法的思想得变
10、量x与y间的线性回归直线方程的一个特点是：此直线必过点，故只需计算，并代入选项即可得正确结果由数据可知，那么必须过点（4，6），经验证可知，选项yx1；y2x1；yx；yx，中满足该点的方程为，故答案为考点：本题考察了最小二乘法的思想，线性回归方程的特点，理解最小二乘法，记住回归直线的性质是解决本题的关键三、解答题（共70分，写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，求证：【答案】见解析.【解析】试题分析：不等式的证明可采用分析法和综合法，本题中将要证明的不等式转化为只需证明即可试题解析：,考点：不等式证明18.新冠状病毒严重威胁着人们身体健康，我国某医疗机构为了调查新冠状病毒对我国公民的
11、感染程度，选了某小区的位居民调查结果统计如下：感染不感染合计年龄不大于岁年龄大于岁合计（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关？（3）已知在被调查的年龄大于岁的感染者中有名女性，其中位是女教师，现从这名女性中随机抽取人，求至多有位教师的概率附：，.【答案】（1）见解析；（2）能在犯错误的概率不超过的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关；（3）.【解析】【分析】（1）根据所选居民总人数为可完善列联表；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（3）计算出所有的基本事件数，并求出事件“所抽取的人中至多有名教师”所包含的基本事件
12、数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由于所选居民总人数为，列联表如下表所示：感染不感染合计年龄不大于岁年龄大于岁合计（2） ，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关；（3）从人任意抽人的所有等可能事件共个，其中至多位教师有个基本事件，所以所求概率是【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了古典概型概率的计算，考查组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.19.如图，地到火车站共有两条路径，据统计两条路径所用的时间互不影响，所用时间在各时间段内的的频率如下表：时间（分钟）的频率的频率现甲、乙两人分别有分钟和分钟时间用于赶往火车站
13、.（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用表示甲、乙两人中在允许的时间内赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求的分布列和数学期望.【答案】（1）甲应选择路径，乙应选择路径；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）用表示事件“甲选择路径时，分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，分钟内赶到火车站”，、，计算出、，并比较、的大小，、的大小，由此可得出结论；（2）用、分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内搞到火车站，由（1）知，可知随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的数学期
14、望.【详解】（1）用表示事件“甲选择路径时，分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率，则有：，所以甲应选择路径；，所以乙应选择路径；（2）用、分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内搞到火车站，由（1）知，且、相互独立.由题意可知，随机变量的取值是、，.所以的分布列如下表所示：所以，随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查利用频率来计算概率，同时也考查了随机变量分布列及其数学期望的求解，考查计算能力，属于中等题.20.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得曲线（1）求出的参数方程;（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系
15、，设是曲线上的一个动点，求点到直线距离的最小值【答案】（1）（为参数）；（2）.【解析】【分析】（1）写出圆的参数方程，利用伸缩变换可得出曲线的参数方程；（2）写出曲线的普通方程，先判断出直线与曲线相离，设点，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式以及正弦函数的有界性可求得点到直线距离的最小值.【详解】（1）圆的参数方程为（为参数），将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线，所以曲线的参数方程是（为参数）；（2）因为C的普通方程是与直线联立解得因为，方程无解，所以直线与曲线相离.则点到直线距离为，所以，当时，取最小值，即.【点睛】本题考查利用伸缩变换求曲线参数方程，同时也考查了
16、利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，考查计算能力，属于中等题.21.已知直线（为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的坐标方程为（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在曲线的极坐标方程两边同时乘以，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及韦达定理可求得的值.【详解】（1）在曲线的极坐标方程两边同时乘以，得，将代入可得，故曲线的直角坐标方程为；（2）直线（为参数），显然在直线上，把的参数方程代入
17、，整理可得，设、对应的参数分别为、，由韦达定理得，故.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了利用直线的参数方程求直线与圆相交所得弦长，考查的几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题.22.已知函数，不等式的解集为（1）求的值；（2）若存在正实数，且，使不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可知，不等式的解集为，然后将不等式两边平方并整理得，进而可求得实数的值；（2）由（1）可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值为，然后利用零点分段法解不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】（1） ，的解集为，的解集为，不等式两边平方得，即，显然m+20,，解得；（2）由（1）得，又， ，当且仅当时取等号，所以的最小值为.由题意可知即解不等式.当时，则，解得，此时；当时，则，解得，此时；当时，则，解得，此时.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用含绝对值不等式的解集求参数，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，考查了利用零点分段法求解绝对值不等式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
