1、A基础达标1把一个铁制的底面半径为r,高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为()A.BC. D解析:选C.因为r2hR3,所以R .2把球的表面积扩大到原来的2倍,那么球的体积扩大到原来的()A2倍 B倍C2倍 D倍解析:选C.设原来球的半径为r,扩大后球的半径为R,依题意可知2,所以Rr.所以2.即球的体积扩大到原来的2倍故C正确3如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()第3题图第4题图A942 B3618C.12 D18解析:选D由三视图可知,该几何体是一个球体和一个长方体的组合体其中,V球,V长方体23318.所以V总18.4一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和
2、左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是()A12 B24C32 D48解析:选D由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为44,即球的半径为2,所以该球的表面积是4(2)248.5如图,在等腰梯形ABCD中,AB2DC2,DAB60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥PDCE的外接球的体积为()A. BC. D解析:选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体PCDE,我们容易求得该正四面体外
3、接球半径为,所以外接球的体积V.6. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是_ cm.解析:设球的半径为x cm,由题意得x28x26xx33,解得x4.答案:47两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,则这两个球的半径之差为_解析:由题意建立方程组,设两球半径分别为R、r(Rr),则即所以Rr2.答案:28已知一个表面积为24的正方体,设有一个与每条棱都相切的球,则此球的体积为_解析:设正方体的棱长为a,则6a224,解得a2.又球与正方体的每条棱都相切,则正方体的面对角线长2等于球
4、的直径,则球的半径是,则此球的体积为()3.答案:9一试管的上部为圆柱形,底部为与圆柱底面半径相同的半球形圆柱形部分的高为h cm,半径为r cm.试管的容量为108 cm3,半球部分容量为全试管容量的.(1)求r和h;(2)若将试管垂直放置,并注水至水面离管口4 cm处,求水的体积解:(1)因为半球部分容量为全试管容量的,所以半球部分与圆柱体部分容量比为,即,所以hr,r3108,所以r3(cm),h10(cm)(2)Vr3r2(h4)3332672(cm3)10有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比解:设正方体
5、的棱长为a.如图所示图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,所以有2r1a,r1,所以S14ra2.图(2)中球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,所以有2r2a,r2a,所以S24r2a2.图(3)中正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,所以有2r3a,r3a,所以S34r3a2.综上可得S1S2S3123.B能力提升1若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等,则它们的表面积的大小关系是()AS球S圆柱S正方体 BS正方体S球S圆柱CS圆柱S球S正方体 DS球S正方体S圆柱解析:
6、选A.设等边圆柱底面圆半径为r,球半径为R,正方体棱长为a,则r22rR3a3,2,S圆柱6r2,S球4R2,S正方体6a2,1,1.故选A.2正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为_解析:如图,过正三棱锥PABC的顶点P作PM平面ABC于点M,则球心O在PM上,|PM|6,连接AM,AO,则|OP|OA|R,在RtOAM中,|OM|6R,又|AB|6,且ABC为等边三角形,故|AM|2,则R2(6R)2(2)2,则R4,所以球的表面积S4R264.答案:643若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求这个球的体积解:如图,O1O2,OO1,AO1,所以AO
7、 ,即R.所以V.4(选做题)已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,边长为a,PBa,PDa,PAPCa,且PD是四棱锥的高在四棱锥内放入一球,求球的最大半径解:当所放的球与四棱锥各面都相切时,球的半径最大,即球心到各面的距离均相等设球的半径为R,球心为S,如图,连接SA,SB,SC,SD,SP.因为最大球与四棱锥各面都相切,所以三棱锥SPAB,SPBC,SPCD,SPAD与四棱锥SABCD的高都为R,且它们恰好组合成四棱锥PABCD因为PD为四棱锥PABCD的高,PDADBCa,四边形ABCD为正方形,又PAPCa,PBa,所以PB2PA2AB2PC2BC2,所以PAB,PCB为直角三角形且全等所以SPABSPCBaaa2,SPDASPDCa2,S正方形ABCDa2,所以VPABCDa2aa3.VSPABVSPBCa2Ra2R,VSPADVSPDCa2Ra2R,VSABCDa2Ra2R,因为VPABCDVSPABVSPBCVSPADVSPDCVSABCD,所以a3a2Ra2Ra2R,即(2)Ra,所以Ra,即球的最大半径为a.