1、反证法(建议用时：40分钟)一、选择题1用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中()A有一个内角小于60 B每一个内角都小于60C有一个内角大于60 D每一个内角都大于60B由反证法证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根A依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没
2、有实根，故应选A.3用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为()A自然数a，b，c都是奇数B自然数a，b，c都是偶数C自然数a，b，c中至少有两个偶数D自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数4已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线C假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.5设x，y，z
3、都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数 ()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2C若a，b，c都小于2，则abc2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)答案8完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则_均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但奇数偶数，这一矛盾说明p为偶数a11，a22，a77(a11)(a22)(a77) (a1a2a7)(127)由假设p为奇数可知a11，a22，a77均为奇数，故(a11
4、)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0为奇数，这与0为偶数矛盾三、解答题9. 已知x，y0，且xy2.求证：，中至少有一个小于2.证明假设，都不小于2，即2，2.x，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2与已知xy2矛盾，中至少有一个小于2.10设函数f (x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数求证：f (x)0无整数根解假设f (x)0有整数根n，则an2bnc0，由f (0)为奇数，即c为奇数，f (1)为奇数，即abc为奇数，所以ab为偶数，又an2bnc为奇数，所以n与anb均为奇数，又ab为偶数，所以ana为奇数，即
5、(n1)a为奇数，所以n1为奇数，这与n为奇数矛盾所以f (x)0无整数根1已知a，b，c(0,1)，则在(1a)b，(1b)c，(1c)a中， ()A不能同时大于B都大于C至少一个大于D至多有一个大于A法一：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c都是小于1的正数，1a,1b,1c都是正数.，同理，.三式相加，得，即，矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.法二：假设三个式子同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a因为0a1，所以0a(1a)2.同理，0b(1b)，0c(1c).所以(1a)a(1b)b(1c)c.
6、因为与矛盾，所以假设不成立，故选A.2设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y22上B必在圆x2y22外C必在圆x2y22内D以上三种情形都有可能Ce，a2c，b2a2c23c2.假设点P(x1，x2)不在圆x2y22内，则xx2，但xx22x1x222；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)假设a，b均不大于1，即a1，b1.则均有可能成立，故不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选.5等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解(1)设公差为d，由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，pr，(pr)20，pr，这与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.5
