1、41.2圆的一般方程预习课本P121123，思考并完成以下问题 1圆的一般方程是什么？有什么特点？ 2方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是什么？ 3已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？ 4圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？ 圆的一般方程1圆的一般方程的概念：当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为 .点睛圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2y2DxEyF0(其中D
2、，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2E24F0.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程x2y2x10表示圆()(2)方程2x22y22ax2ay0(a0)表示圆()答案：(1)(2)2圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：选D圆x2y24x6y0的圆心坐标为，即(2，3)3过O（0，0），A（3，0），B（0，4）三点的圆的一般方程为_解析：该圆的圆心为，半径为，故其标准方程为2 (y1) 2，化成一般方程为x2+y23x4y0.答案：x2+y23x4y0圆的一
3、般方程的辨析典例若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆此时有两种途径：一是看D2E24F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数 活学活用1(2016浙江高考)已知aR，方程a
4、2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得a2或1.当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得2(y1)20，不表示圆；当a1时，方程为x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是5.答案：(2，4)52已知曲线C：x2y24mx2my20m200.求证：当m2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上证明：D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2.又m2，(m2)20，D2E24F0，即曲线C是一个圆设圆心坐标为(x，
5、y)，则由消去m，得x2y0，即圆心在直线x2y0上.求圆的一般方程典例已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程解法一待定系数法设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q的坐标分别代入上式，得令x0，得y2EyF0，由已知|y1y2|4，其中y1，y2是方程的两根(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立解得，或故所求方程为x2y22x120或x2y210x8y40.法二几何法由题意得线段PQ的中垂线方程为xy10.所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1)又圆C的半径长r|CP|.由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y
6、轴的距离为|a|.r2a22，代入并将两端平方得a26a50，解得a11，a25，r1，r2.故所求圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 活学活用求圆心在直线2xy30上，且过点(5,2)和(3，2)的圆的一般方程解：设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心为.圆心在直线2xy30上，230.又点(5,2)和(
7、3，2)在圆上，52225D2EF0.32(2)23D2EF0. 解组成的方程组，得D4，E2，F5.所求圆的一般方程为x2y24x2y50.代入法求轨迹方程典例已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，2)，且圆心C在直线l：xy10上(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹 方程解(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D.又kAB3，所以km，所以直线m的方程为x3y30.由得圆心C(3，2)，则半径r|CA|5，所以圆C的方程为(x3)2(y2)225.(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)因为
8、点P的坐标为(5,0)，所以即又点Q(x0，y0)在圆C：(x3)2(y2)225上运动，所以(x03)2(y02)225，即(2x53)2(2y2)225.整理得(x1)2(y1)2.即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x1)2(y1)2.用代入法求轨迹方程的一般步骤活学活用已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆
9、心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0)层级一学业水平达标1圆x2y24x6y30的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：选C将x2y24x6y30配方，得(x2)2(y3)210，故圆心坐标为(2，3)故选C.2将圆x2y22x4y40平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：选C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.3方程x2y22ax2bya2b20表示的图形为()A以(a，b)为圆心的圆 B以(a，
10、b)为圆心的圆C点(a，b) D点(a，b)解析：选D原方程可化为(xa)2(yb)20，即表示点(a，b)4如果方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)所表示的曲线关于直线yx对称，则必有()ADE BDFCEF DDEF解析：选A由D2E24F0知，方程表示的曲线是圆，其圆心在直线yx上，故DE.5当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0解析：选C直线(a1)xya10可化为(xy1)a(1x)0，由得C(1,2)圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y2
11、2x4y0.6设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线且|PA|1，则P点的轨迹方程是_解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x1)2y21的圆心为B(1,0)，则|PA|21|PB|2，(x1)2y22.答案：(x1)2y227已知圆C：x2y22x2y30，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为_解析：由x2y22x2y30得，(x1)2(y1)25，所以圆心C(1，1)设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，3)答案：(2，3)8圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.解析：圆C：x2y22x4y40的圆
12、心坐标为，即(1,2)，故圆心到直线3x4y40的距离d3.答案：39当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2m1)x2(m2m2)y2m20表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m2m1)x2(m2m2)y2m20表示的图形是一个圆，需满足2m2m1m2m2，得m22m30，所以m3或m1.当m1时，方程为x2y2，不合题意，舍去；当m3时，方程为14x214y21，即x2y2，表示以原点为圆心，以为半径的圆综上，m3时满足题意10点A(2,0)是圆x2y24上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP的中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ的中点的轨迹
13、方程解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x2,2y)点P在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，故线段AP的中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，x2y2(x1)2(y1)24，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2y2xy10.层级二应试能力达标1已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A(，1) B(3，)C(，1)(3，) D.解析：选A方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即
14、k1时才能表示圆2若圆C：x2y22(m1)x2(m1)y2m26m40过坐标原点，则实数m的值为()A2或1 B2或1C2 D1解析：选Cx2y22(m1)x2(m1)y2m26m40表示圆，2(m1)22(m1)24(2m26m4)0，m1.又圆C过原点，2m26m40，m2或m1(舍去)，m2.3已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216解析：选B设M(x，y)，则M满足2，整理得x2y216.4圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为的点共有()A1个 B2个C
15、3个 D4个解析：选C圆心(1，2)，r2，圆心到直线xy10的距离d.共有3个点5已知圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称图形，则ab的取值范围是_解析：由题意知，直线y2xb过圆心，而圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，得b4，圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)25a，所以a5，由此，得ab1.答案：(，1)6如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_解析：r ，当k0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2y22y0，即x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)答案：(0，1)7设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又点N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.当点P在直线OM上时，有x，y或x，y.因此所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，除去点和点.8已知圆C：x2y2DxEy30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程解：圆心C，圆心在直线xy10上，10，即DE2.又半径长r，D2E220.由可得或又圆心在第二象限，0，即D0.则故圆的一般方程为x2y22x4y30.
