1、湖南省益阳市2021届高三数学4月模拟试题（含解析）一、选择题（每小题5分）.1已知集合AxN|0x4，Bx|x22x0，则AB（）A0，2B1，2C1，2D0，1，22已知复数za+bi（a，bR），若z（2+i）5i，则在复平面内点P（a，b）位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知，asin，blog2sin，c（sin）1，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBbcaCcabDbac4已知数列an的前n项和为Sn，且an+1an+2n1，a12，若Sn128，则n的最小值为（）A5B6C7D85已知x，y满足约束条件，则zx+y的最大值为（）ABCD46我们要检测视力时会
2、发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示（已隐去数据），其部分数据如表：小数记录x0.10.120.150.2？1.01.21.52.0五分记录y4.04.14.24.34.75.05.15.25.3现有如下函数模型：y5+lgx，y5+lg，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（）（附：100.30.5，50.220.7，100.10.8），A0.3B0.5C0.7D0.87如图所示，边长为2的正ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P
3、在圆弧上运动，则的取值范围为（）A2，3B4，3C2，4D2，58已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f（x），当x0时，f（x）+xf（x）0，且f（1）0，则不等式（x22x）f（x）0的解集为（）A（，1）（1，2）B（1，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得分，有选错的得0分。9某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短现随机采集了200个停车时间的数据（单位：min），其频率分布直方图如图超市决定对停
4、车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费（同一组数据用该区间的中点值代替），则下列说法正确的是（）A免收停车费的顾客约占总数的20%B免收停车费的顾客约占总数的25%C顾客的平均停车时间约为58minD停车时间达到或超过60min的顾客约占总数的50%10如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为A1B1的中点，则下列说法正确的是（）ADE与CC1为异面直线BDE与平面BCC1B1所成角的正切值为C过D、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D线段DE在底面ABCD的射影长为11已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且
5、A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是（）A若直线lx轴，则|AB|2BCy1y24DA1FB112已知函数f（x）|sinx|sin（x）|（3.14159），则下列说法中正确的是（）A是f（x）的周期Bf（x）的值域为，Cf（x）在（，5）内单调递减Df（x）在2021，2021中的零点个数不超过2574个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图所示，由红、黄、蓝、白四种发光元件连接成倪红灯系统N，四种发光元件的工作相互独立，当四种发光元件均正常工作时，倪红灯系统N才能随机地发出亮丽的色彩，当某种元件出现故障时，倪红灯系统N在该处将出现短暂的黑幕现象，若
6、某时刻出现两处黑幕现象，需从装有红、黄、蓝、白四种发光元件中（除颜色外没有区别）抽取两种相应的发光元件进行更换，则一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为 14已知圆O：x2+y21，A（3，3），点P在直线l：xy2上运动，则|PA|+|PO|的最小值为 15在三棱锥PABC中，ABBC，ABPB，PBC45，AB2，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为 16在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+2ab+2abcosca2+c2，则cos2+cos1的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ac4，S
7、ABC，3sinB2sinA，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c，A，_？18已知等差数列an中，a35，a713，等比数列bn中，b1a32，b2a5（1）求an，bn的通项公式；（2）令，求数列cn的前n项和Tn19“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙在相同的条件下轮流射击每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响（1）经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和
8、为X，求X的分布列；（2）试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由20如图，四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，ABC，BCAB2，A1B1A1A1（1）证明：DD1平面ACB1；（2）求面角AB1CD1的余弦值21已知椭圆E：1（ab0）的右焦点为F（c，0），圆O：x2+y2a2，过点F与x轴垂直的直线在第一象限交圆与椭圆分别于点A，B，且|AF|BF|，点在椭圆上（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与E交于C，D两点，CD的中点为M，直线OM与椭圆有一个交点为N，若，求MNF的面积
9、22已知函数f（x）alnx+x2+1，其中aR且a0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x1，+）时，不等式f（x）x22x成立，求a的取值范围参考答案一、选择题（共8小题）.1已知集合AxN|0x4，Bx|x22x0，则AB（）A0，2B1，2C1，2D0，1，2解：A1，2，3，Bx|0x2，AB1，2故选：C2已知复数za+bi（a，bR），若z（2+i）5i，则在复平面内点P（a，b）位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：若z（2+i）5i，则z1+2i，所以a1，b2，P （1，2），则P位于第一象限故选：A3已知，asin，blog2sin，c（sin）1，则a
10、，b，c的大小关系为（）AcbaBbcaCcabDbac解：，0sin1，0a1，blog2sin0，c（sin）11，bac，故选：D4已知数列an的前n项和为Sn，且an+1an+2n1，a12，若Sn128，则n的最小值为（）A5B6C7D8解：数列an的前n项和为Sn，且an+1an+2n1，a12，当n1时，解得a23，当n2时，解得a35，a765所以S7a1+a2+a7134，由于S669，当n7时，满足Sn128，故选：C5已知x，y满足约束条件，则zx+y的最大值为（）ABCD4解：由约束条件作出可行域如图，目标函数z，即为y，作出直线y，由图可知，当直线y平移至C处时，z取
11、得最大值，联立，解得C（，），则目标函数z的最大值为z故选：C6我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示（已隐去数据），其部分数据如表：小数记录x0.10.120.150.2？1.01.21.52.0五分记录y4.04.14.24.34.75.05.15.25.3现有如下函数模型：y5+lgx，y5+lg，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（）（附：100.30.5，50.220.7，100.10.8），A0.3B0.5C0.7D0.8解：由数据
12、可知，当x1时，y5，两个都符合，但当x0.1时，由y5+lgx，得y5+lg0.14，与表中的数据符合，而y5+lg105.1，与表中的数据不符合，所以选择模型y5+lgx更合适，此时令y4.7，则lgx0.3，所以x100.30.5故选：B7如图所示，边长为2的正ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（）A2，3B4，3C2，4D2，5解：由题可知，当点P在点C处时，最小，此时，过圆心O作OPAB交圆弧于点P，连接AP，此时最大，过O作OGAB于G，PFAB的延长线于F，则|AB|AF|AB|（|AG|+|GF|），所以的取值范围为
13、2，5故选：D8已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f（x），当x0时，f（x）+xf（x）0，且f（1）0，则不等式（x22x）f（x）0的解集为（）A（，1）（1，2）B（1，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）解：因为（x22x）f（x）x（x2）f（x），所以记g（x）xf（x），因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以g（x）为定义在R上的偶函数，又g（x）f（x）+xf（x），因为当x0时，f（x）+xf（x）0，所以当x0时，g（x）0，即g（x）在（0，+）上单调递增，所以g（x）在（，0）上单调递减，又f（1）0，得g（1）0，所以g（1）0，不等式（x22x）
14、f（x）0等价于（x2）g（x）0，所以或，即或，解得x1或1x2故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得分，有选错的得0分。9某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短现随机采集了200个停车时间的数据（单位：min），其频率分布直方图如图超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费（同一组数据用该区间的中点值代替），则下列说法正确的是（）A免收停车费的顾客约占总数的20%B免收停车费的顾客约占总数的25%C顾客的平均停车时间约为58minD停车时间
15、达到或超过60min的顾客约占总数的50%解：由题意可知，免收停车费的顾客约占总数的（0.0025+0.01）200.25，故免收停车费的顾客约占总数的25%，故选项A错误，选项B正确；由频率分布直方图可知，a0.050.0150.0120.00250.0125，则顾客的平均停车时间约为（100.0025+300.01+500.0125+700.015+900.01）2058min，故选项C正确；停车时间达到或超过60min的顾客约占总数的（0.015+0.01）200.5，故停车时间达到或超过60min的顾客约占总数的50%，故选项D正确故选：BCD10如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1
16、C1D1中，点E为A1B1的中点，则下列说法正确的是（）ADE与CC1为异面直线BDE与平面BCC1B1所成角的正切值为C过D、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D线段DE在底面ABCD的射影长为解：由图可知：DE与CC1为异面直线，A正确；DE与平面BCC1B1所成角的正切值可转化为求求DE与平面ADD1A1所成角的正切值，连接A1D，在直角三角形EA1D中：DE与平面BCC1B1所成角的正切值为tanA1DE，B正确；过D、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，C正确；取AB中
17、点F，连接EF、DF，EFB1B且B1B底面ABCD，EF底面ABCD，DF的长为线段DE在底面ABCD的射影长，在直角三角形DFE中：EF1，DE，DF，D错；故选：ABC11已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是（）A若直线lx轴，则|AB|2BCy1y24DA1FB1解：选项A，由题意知，F（1，0），直线lx轴，把x1代入y24x得，y2，|AB|4，即选项A错误；选项B，当直线lx轴时，x1x21，x1x21，即选项B错误；选项C，当直线lx轴时，y1y24，当直线l
18、与x轴不垂直时，设直线l：xmy+1，联立，得y24my40，y1y24，即选项C正确；选项D，由抛物线的定义知，|AF|A1F|，AA1FAFA1，又AA1x轴，AA1FA1FO，AFA1A1FOAFO，同理可得，BFB1B1FOBFO，A1FB1A1FO+B1FO（AFO+BFO），即选项D正确故选：CD12已知函数f（x）|sinx|sin（x）|（3.14159），则下列说法中正确的是（）A是f（x）的周期Bf（x）的值域为，Cf（x）在（，5）内单调递减Df（x）在2021，2021中的零点个数不超过2574个解：f（x）|sinx|sin（x）|sinx|cosx|，f（x+）|s
19、in（x+）|cos（x+）|sinx|cosx|f（x）是函数f（x）的最小正周期，A正确；f（x）|sin（x）|cos（x）|sinx|cosx|f（x），函数f（x）是偶函数 当x0，时，f（x）， 结合图象根据函数性质可知：当x时，f（x）取最大值1，当x0或时，f（x）取最小值1，函数值域为1，1，B错； 结合图象由函数f（x）的性质可知：f（x）在0，上是增函数，在（，上是减函数， 又函数f（x）的周期是，函数f（x）在（，5）上的单调增区间是（，减区间是（，5，C错误； 由函数f（x）性质可知在0，上有2个零点，函数最小正周期是的偶函数且643.64，函数f（x）在2021，2
20、021中的零点个数不超过64322+22574个，D正确； 故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图所示，由红、黄、蓝、白四种发光元件连接成倪红灯系统N，四种发光元件的工作相互独立，当四种发光元件均正常工作时，倪红灯系统N才能随机地发出亮丽的色彩，当某种元件出现故障时，倪红灯系统N在该处将出现短暂的黑幕现象，若某时刻出现两处黑幕现象，需从装有红、黄、蓝、白四种发光元件中（除颜色外没有区别）抽取两种相应的发光元件进行更换，则一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为解：记红、黄、蓝、白四种发光元件分别为A，B，C，D，则从中随机抽取两个的所有情况为：AB，AC，A
21、D，BC，CD，共6种，而更换的两个故障发光元件为其中一种情况，一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为P故答案为：14已知圆O：x2+y21，A（3，3），点P在直线l：xy2上运动，则|PA|+|PO|的最小值为解：由于点A与点O在直线l：xy2的同侧，设点O关于直线l：xy2的对称点为O（x，y），kOO1，OO所在直线方程为yx，联立，解得，即OO的中点为（1，1），O（2，2），则|PA|+|PO|PA|+|PO|AO|故答案为：15在三棱锥PABC中，ABBC，ABPB，PBC45，AB2，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为14解：如图所示，设球心为O，PBC外接圆的圆
22、心为O1，则OO1平面PBC，由ABBC，ABPB，BCPBB，得AB平面PBC，ABOO1，连接BO1，过A作AHBO1，交O1O的延长线于点H，则OAOB，AHBO1，OHOO1，由条件得，O1HAB2，OO11，又在PBC中，（r为PBC的外接圆的半径），则，故答案为：1416在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+2ab+2abcosca2+c2，则cos2+cos1的取值范围为（，）解：因为b2+2ab+2abcosca2+c2，整理可得2ab（1+cosC）a2+c2b2，所以由余弦定理可得2ab（1+cosC）2accosB，所以b（1+cosC）cco
23、sB，可得sinBsinCcosBsinBcosC，可得sinBsin（CB），因为0，0C，所以BCB，可得C2B，又因为ABC为锐角三角形，所以，可得B，所以cosB，又因为cos2+cos1+cosB1，所以3cosB1，从而，可得cos2+cos1的取值范围为（，）故答案为：（，）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ac4，SABC，3sinB2sinA，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c，A，_？解
24、：选择条件：由余弦定理知，a2b2+c22bccosA4c2+c24c2cos3c2，ac，又ac4，c2选择条件：SABCbcsinA，b2c，A，2ccsin，c1选择条件：由正弦定理知，3sinB2sinA，3b2a，b2c，a3c，由余弦定理知，a2b2+c22bccosA4c2+c24c2cos3c2，ac，与a3c相矛盾，故不存在该三角形18已知等差数列an中，a35，a713，等比数列bn中，b1a32，b2a5（1）求an，bn的通项公式；（2）令，求数列cn的前n项和Tn解：（1）设等差数列an的公差为d，a35，a713，a1+2d5，a1+6d13，解得a11，d2，an
25、1+2（n1）2n1设等比数列bn的公比为q，b1a3223123，b2a52519，q3，bn33n13n（2），数列cn的前n项和Tn+，Tn+，相减可得：Tn+2（+）+2，化为：Tn119“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙在相同的条件下轮流射击每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响（1）经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和为X，求X的分布列；（2）试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由解：（1）X的可能取值为0，1，2，由题意可知P（X
26、0），P（X1），P（X2），所以X的分布列为：X0 1 2 P （2）经过2轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：一是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，二是甲累计得1分，此时乙累计得0分，所以，经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况：一是甲累计得3分，此时乙的累计得分低于3分，二是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，三是甲累计得1分，此时乙累计得0分，所以，因为P2P1，所以经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高20如图，四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，ABC，BCAB2，A1B1A1A1（1）
27、证明：DD1平面ACB1；（2）求面角AB1CD1的余弦值【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，连接B1O，四边形ABCD是平行四边形，ODBD，由棱台的性质可得B1D1OD，由BCAB2，得AB2，又A1B11，可得，则B1D1OD，四边形B1ODD1是平行四边形，则B1ODD1，又B1O平面B1AC，DD1平面B1AC，DD1平面ACB1；（2）解：A1A平面ABCD，且AC平面ABCD，AB平面ABCD，A1AAC，A1AAB，又，BC，AB2，AC2，则AB2+AC2BC2，故ABAC，即AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴
28、建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（0，2，0），B1（1，0，1），D1（1，1，1），设平面AB1C的一个法向量为，由，取z1，得；设平面B1CD1的一个法向量为，由，取z13，得设二面角AB1CD1为，由图可知，为锐角，则cos|cos|故二面角AB1CD1的余弦值为21已知椭圆E：1（ab0）的右焦点为F（c，0），圆O：x2+y2a2，过点F与x轴垂直的直线在第一象限交圆与椭圆分别于点A，B，且|AF|BF|，点在椭圆上（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与E交于C，D两点，CD的中点为M，直线OM与椭圆有一个交点为N，若，求MNF的面积解：（1）由题意知A（
29、c，b），B（c，），因为|AF|BF|，所以b，所以ab，又点P（1，）在椭圆上，所以+1，解得a2，b，所以椭圆E的方程为+1（2）依题意可得直线l：yk（x），联立，得（1+2k2）x24k2x+4k240，32k2（4）（1+k）236k2+40，设C（x1，y1），D（x2，y2），M（x0，y0），所以x1+x2，x0，所以y0，所以M（，），因为，所以N（，），因为点N在椭圆上，所以+1，解得k2（舍去）或k2，所以k，所以SMNF|OF|yNyM|yNyM|，所以MNF面积为22已知函数f（x）alnx+x2+1，其中aR且a0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x1，+）
30、时，不等式f（x）x22x成立，求a的取值范围解：（1）函数的定义域为（0，+），f（x），当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，此时f（x）的增区间为（0，+）；当a0时，令f（x）0，解得x（x舍去），则x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递减；x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增此时f（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+）综上，当a0时，f（x）的增区间为（0，+）；当a0时，f（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+）；（2）首先，x1时不等式成立，由f（1），得0a，只需证当0a时，f（x）成立，即证不等式成立，令t，则t4，设g（t）x2t2（x+1）2tlnx，对称轴t，则g（t）g（4）16x24（x+1）2lnx，记h（x）16x24（x+1）2lnx，则h（x）32x8（x+1）0，h（x）在1，+）上单调递增，且h（1）0，故h（x）0，于是g（t）0成立0a
