1、规范练(六)函数与导数问题1设f(x)ex(ax2x1)(1)若a0，讨论f(x)的单调性；(2)x1时，f(x)有极值，证明：当时，|f(cos )f(sin )|2.解(1)f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)aex(x)(x2)，当a时，f(x)ex(x2)20，f(x)在R上单增；当0a时，由f(x)0，得x2或x；由f(x)0，得x2，f(x)在和(2，)上单调递增，在上单调递减当a时，由f(x)0，得x或x2；由f(x)0，得2x，f(x)在(，2)和)上单调递增，在上单调递减(2)证明x1时，f(x)有极值，f(1)3e(a1)0，a1，f(x)ex(x2x1)，f(x)e
2、x(x1)(x2)由f(x)0，得2x1，f(x)在2,1上单调递增，sin ，cos 0,1，|f(cos )f(sin )|f(1)f(0)e12.2已知mR，f(x)2x33x26(mm2)x.(1)当m1时，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若m，2且关于x的不等式(m1)2(14m)f(x)20在区间k,0上恒成立，求k的最小值k(m)解(1)当m1时，f(x)2x33x2，f(x)6x26x.切线斜率为kf(1)12，f(1)5，所以切线方程为y12x7.(2)令f(x)6x26x6(mm2)0，可得x1m，x2m1，因为m，2，所以m1(m)2m10.当m10，且2
3、m10，即m1时f(x)极大f(m)4m33m2，f(x)极小f(m1)(m1)2(14m)令g(m)f(x)极大4m33m2，则g(m)12m26m0.故g(m)在m1上单调递增，故g(m)g(1)120恒成立令h(x)f(x)(m1)2(14m)，显然h(m1)f(m1)(m1)2(14m)0，令h(x0)h(m1)(x0m1)，设x(m1)2(axb)2x33x26(mm2)x(m1)2(14m)，比较两边系数得a2，b4m1，故x0.结合图象可知，要使(m1)2(14m)f(x)恒成立则只需x0k0即可，故kmink(m)x0；当m10即1m2时，同可知，g(m)f(x)极大4m33m
4、2，又g(m)，在1m2上单调递增，故g(m)g(2)20恒成立同理可知kmink(m)x0(1m2)，综上可知，k(m).3已知函数f(x)ax.(1)若函数f(x)在(1，)上是减函数，求实数a的最小值；(2)若x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a(a0成立)，求实数a的取值范围解(1)因f(x)在(1，)上为减函数，故f(x)a0在(1，)上恒成立，所以当x(1，)时，f(x)max0，又f(x)a()2a()2a，设t，t(0，)，则y(t)2a，故当t，即xe2时，f(x)maxa0，解得a，所以a的最小值为.(2)命题“若x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”，
5、等价于“当xe，e2时，有f(x)minf(x)maxa”，由(1)知，当xe，e2时，f(x)maxa，f(x)maxa，问题等价于：“当xe，e2时，有f(x)min”10当a时，f(x)maxa0，f(x)在e，e2上为减函数，则f(x)minf(e2)ae2，故a.20当0a时，f(x)maxa0，由于f(x)()2a在e，e2上为增函数，故f(x)的值域为f(e)，f(e2)，即a，a，由f(x)的单调性和值域知，存在唯一x0e，e2，使f(x0)0，且满足：当xe，x0时，f(x)0，f(x)为减函数；当xx0，e2时，f(x)0.由f(x)minf(x0)ax0，x0e，e2，所
6、以，a，与0a矛盾，不合题意综上所述，得a.4已知函数f(x)kexx2(其中kR，e是自然对数的底数(1)若k0，试判断函数f(x)在区间(0，)上的单调性；(2)若k2，当x(0，)时，试比较f(x)与2的大小；(3)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，求k的取值范围，并证明0f(x1)1.解(1)由f(x)kex2x可知，当k0时，由于x(0，)，f(x)kex2x0，故函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(2)当k2时，f(x)2exx2，则f(x)2ex2x，令h(x)2ex2x，h(x)2ex2，由于x(0，)，故h(x)2ex20，于是h(x)2ex2x在(0
7、，)为增函数，所以h(x)2ex2xh(0)20，即f(x)2ex2x0在(0，)恒成立，从而f(x)2exx2在(0，)为增函数，故f(x)2exx2f(0)2.(3)函数f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f(x)kex2x0的两个根，即方程k有两个根，设(x)，则(x)，当x0时，(x)0，函数(x)单调递增且(x)0；当0x1时，(x)0，函数(x)单调递增且(x)0；当x1时，(x)0，函数(x)单调递减且(x)0.要使k有两个根，只需0k(1)，如图所示，故实数k的取值范围是(0，)又由上可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足0x11x2，由f(x1)kex12x10，得k.f(x1)kex1xex1xx2x1(x11)21，由于x1(0,1)，故0(x11)211，所以0f(x1)1.
