1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点36 空间向量的坐标运算解答题ABCEA1C1B11.（2011湖北高考理科T18）（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合.（1）当=1时，求证：；（2）设二面角的大小为，求的最小值.【思路点拨】方法一：（1）先找出EF在平面A1ACC1内的射影，再证明射影与A1C垂直，又因为A1C与AC1垂直，故只需证明射影与AC1平行即可；（2）由（1）的结论利用三垂线定理作出二面角的平面角，再设，最终将用表示，转化为含有角的三角函数的最值
2、问题.方法二：以点A为坐标原点，AC与AA1所在直线为轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【精讲精析】方法一：过E作ENAC于N，连结EF.如图1，连结NF、AC1 ，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面A1C.又底面ABC 侧面A1C = AC ，且EN底面ABC，所以 EN侧面A1 C,NF为EF在侧面A1 C内的射影.在RtCNE中， .则由，得 NFAC1 ，又 AC1A1C ，故 NFA1C .由三垂线定理得. 如图2，连结AF，过N作NMAF于M，连结ME.由知 EN侧面A1 C，根据三垂线定理得EMAF，所以EMN是二面角C-AF-E的平面角，即EMN = ，设FAC = ，则
3、0 45.中，中，故又0 45，故当，即当= 45时，达到最小值，此时F与C1重合.方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得、 、，于是，.则故.设，平面AEF的一个法向量为，则由得，于是由可得即取.又由直棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为，于是为锐角可得所以.由，得，即故当，即点F与点C1重合时，取得最小值2.（2011湖北高考文科18）（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,.(1) 求证：；(2) 求二面角的大小.【思路点拨】方法一：(1)利用勾股定理的逆定理证明C1EEF，C1ECE，从而可证C1E平面CEF；(
4、2)先证明CFEF，再由(1)可得CF平面C1EF，故EFC1为二面角的平面角.方法二：以点A为坐标原点，AC与AA1所在直线为轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【精讲精析】方法一：(1)由已知可得，于是有，所以.又EF，CE在平面CEF中，且，所以平面.因为平面，所以.(2)在中，由可得，于是有，所以.又由知，且，EF，C1E在平面C1FE内，所以平面.又平面，故.于是即为二面角的平面角.由知是等腰直角三角形，所以，即二面角的大小为.方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得(1)，.(2)设平面的一个法向量为由，得即可取设侧面的一个法向量为由，及可取设二面角的大小为，于是可
5、得因为为锐角，所以即所求二面角的大小为.3.（2011全国高考理科19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（1）证明：;（2)求与平面所成角的大小.【思路点拨】本题第（1）问可以直接证明，也可建系证明.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小.【精讲精析】（1）由题意得SD=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可证，又，因此，.（2）过D作，如图建立空间直角坐标系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0), ，可计算平面SBC的一个法向量是，.所以AB与平面SBC所成角的大小为.4.(2011重庆高考理科T1
6、9) （本小题满分12分，()小问5分，()小问7分）.如图，在四面体中，平面平面，.()若，求四面体的体积. ()若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值.【思路点拨】取的中点,可根据题意证明为四面体的高,从而可求出四面体的体积,求异面直线与所成角的余弦值时,可以根据异面直线所成角的定义来求解,也可以建立空间直角坐标系利用向量的夹角公式求解.【精讲精析】()如图，设为的中点,由于,所以.故由平面平面,知平面,即是四面体的面上的高,且.在中,因由勾股定理易知.所以,四面体的体积.()设分别为边的中点,则,从而是异面直线与所成的角或其补角.设为边的中点,则,由,知,又由()有平面,故由三垂线定理知
7、,所以为二面角的平面角,由题设知,设则在中,从而因为故,从而在中,又,从而在中,因,由余弦定理得因此,异面直线与所成角的余弦值为5.(2011重庆高考文科T20) 如图,在四面体中,平面平面,(1)求四面体的体积;(2)求二面角的平面角的正切值.【思路点拨】过点作的垂线,即四面体的高,进而计算出的面积，利用体积公式求出四面体的体积,在求二面角的正切值时,可以先找出二面角的平面角,把它放在三角形中求解,也可以建立空间直角坐标系利用向量求解.【精讲精析】(1)如图所示,过作,垂足为,故由平面平面,知平面,即是四面体的面上的高.设为边的中点,则由三线合一,知,从而.由,得.在中,故四面体的体积.(2)过作,垂足为,连接.由(1)知平面,由三垂线定理知，.故为二面角的平面角.在中,.在中,从而所以.在中, 关闭Word文档返回原板块。
