1、3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学 习 目 标核 心 素 养1.能根据定义求函数yc，yx，yx2，y，y的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数(重点、难点)借助导数的定义求几个常用函数的导数，培养逻辑推理及数学运算的素养.1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)思考：根据上述四个公式，你能总结出函数yx的导数是什么吗？提示若yx，则yx1.2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)
2、sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)1函数f(x)0的导数是()A0B1C不存在D不确定A由基本初等函数的导数公式知(0)0，故选A2下列结论正确的个数为()f(x)ln 2，则f(x)；g(x)cos x，则g；h(x)2x，则h(x)2xln 2；(x)log5x，则(x).A0B1 C2D3D对，f(x)(ln 2)0；对，g(x)sin x，gsin ；对，h(x)2xln 2；对，(x).故选D3求下列函数的导数(1)(2x)_
3、；(2)(log3 x)_；(3)(sin 30)_；(4)_.答案(1)2xln 2(2)(3)0(4)利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数(1)yx12；(2)y；(3)y2sin cos ；(4)ylogx；(5)y3x.解(1)y(x12)12x12112x11.(2)y()(x)xx.(3)y2sin cos sin x，ycos x.(4)y(logx).(5)y(3x)3xln 3.用导数公式求函数导数的方法(1)若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y可以写成yx4
4、，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.求下列函数的导数：(1)y5x；(2)y；(3)yln 3；(4)yx.解(1)y(5x)5xln 5.(2)y(x5)5x6.(3)y(ln 3)0.(4)yx，yx，yxx.利用导数公式求曲线的切线方程【例2】已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程思路点拨直线PQ的斜率所求切线的斜率切点坐标所求切线方程解因为y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，则y|xx02x0，又因为PQ的斜率为k1，而切线平行于PQ，所以k2x01，即x0.所以切点为M.所以所
5、求切线方程为yx，即4x4y10.1本例中，是否存在与直线PQ垂直的切线？若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由解假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k1，所以与PQ垂直的切线斜率k1，设切点为(x1，y1)，则y|xx12x1，令2x11，则x1，y1，切线方程为y，即4x4y10.2若本例中曲线改为yln x，试求与直线PQ平行的切线方程解设切点为(a，b)，因为kPQ1，则由f(a)1，得a1，故bln 10，则与直线PQ平行的切线方程为yx1，即xy10.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个
6、条件联立方程解决.1利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2 的导数因为y12sin2 cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化1判断正误(1)(log3).()(2)若f(x)，则f(x)ln x()(3)因为(sin x)cos x，所以(sin )cos 1.()答案(1)(2)(3)2已知直线ykx是曲线yln x的切线，则k_.y(ln x)，则k.所以x，所以yk1.所以曲线yln x过点，1，即1ln ，所以k.3曲线yex在点(0,1)处的切线方程为_xy10yex，y|x0e01，故切线方程为y1x，即xy10.4已知抛物线yax2bxc过点(1,1)，且在点(2，1)处与直线yx3相切，求a，b，c的值解因为yax2bxc过点(1,1)，所以abc1.y2axb，曲线在点(2，1)的切线的斜率为4ab1.又曲线过点(2，1)，所以4a2bc1.由解得所以a，b，c的值分别为3，11,9.