1、辽宁省协作校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知全集U=0，1，2，3，5，6，8，集合A=1，5，8，B=2，则集合（UA）B=（）A0，2，3，6B0，3，6C1，2，5，8D2（5分）已知空间两个点A，B的坐标分别为A（1，2，2），B（2，2，1），则|AB|=（）A18B12CD3（5分）已知直线y=（2a1）x+2的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（）AaBaCaDa4（5分）一个圆柱的底面直径和高都等于4，则圆柱的表面积为（）A24B16C20D645（5分）已知直线l过圆x2+（y3）2=4的圆心，且与直线
2、x+y+1=0垂直，则l的方程是（）Ax+y2=0Bxy+2=0Cx+y3=0Dxy+3=06（5分）设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m7（5分）圆C1：（x6）2+y2=1和圆C2：（x3）2+（y4）2=36的位置关系是（）A外切B相交C内切D内含8（5分）正三角形ABC的边长为2，ABC直观图（斜二测画法）的面积是（）ABCD29（5分）给出下面4个命题各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；经过球面上不同的两点只能作球的一个大圆；两条异面直线的平行投影可平行；过平面外的一条直线，只能作一个平面和这个平面平行
3、；其中正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个10（5分）设f（x）=ah（x）+bg（x）+4，其中h（x），g（x）都是奇函数，a，b是不同时为零的常数，若flg（log310）=5，则flg（lg3）等于（）A5B7C3D111（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的侧棱长为2，底面边长为4，则该球的表面积是（）A36B32C18D1612（5分）直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且AOB=120（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，1）之间距离的最大值为（）AB4CD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）函数f（
4、x）=ex+x2+2x2的零点个数为14（5分）如图所示一个几何体的三视图，则该几何体的体积为15（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，且当x1时，f（x）=，若实数a满足f（2a）f（a+1），则a的取值范围是16（5分）已知圆O：x2+y2=1和点A（2，0），若存在定点B（b，0）（b2）和常数满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=|MA|，则点P（b，）到直线（m+n）x+ny2nm=0距离的最大值为三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知直线l：ax+3y+1=0（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）若直线l与直线x+（a2）y+a=0平行，求a的值18
5、（12分）在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，BCSA，AS=AB，过A作APSB，垂足为F，点E、G分别是棱SA，SC的中点求证：（1）平面EFG平面ABC；（2）ABBC19（12分）已知f（x）是定义在（0，+）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（xy）（1）求证：f（x）f（y）=；（2）若f（2）=3，解不等式f（1）f（）920（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB=，BC=1，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点（1）求证：平面ABE平面B1BCC1；（2）求证：C1F平面ABE；（3）求多面体A1B1C1ABF的体积21（12
6、分）已知点P（2，3t），Q（0，2t），（tR，t0）（1）当t=2时，求圆心在坐标原点且与直线PQ相切的圆的标准方程（2）是否存在圆心在x轴上的定圆M，对于任意的非零实数t，直线PQ恒与定圆M相切，如果存在，求出圆M的标准方程，如果不存在，请说明理由22（12分）已知函数f（x）=aX，（a0且a1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称，且h（x）=g（a1）x+2（1）求h（x）的定义域；（2）当x3，4时，h（x）0恒成立，求a的取值范围辽宁省协作校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（
7、5分）已知全集U=0，1，2，3，5，6，8，集合A=1，5，8，B=2，则集合（UA）B=（）A0，2，3，6B0，3，6C1，2，5，8D考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可解答：解：全集=0，1，2，3，5，6，8，集合A=1，5，8，B=2，UA=0，2，3，6，则（UA）B=0，2，3，6故选A点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）已知空间两个点A，B的坐标分别为A（1，2，2），B（2，2，1），则|AB|=（）A18B12CD考点：空间两点间的距离公式 专题：空间位置关系与
8、距离分析：根据两点间的距离公式进行计算即可解答：解：点A，B的坐标分别为A（1，2，2），B（2，2，1），|AB|=3故选：C点评：本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是容易题目3（5分）已知直线y=（2a1）x+2的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（）AaBaCaDa考点：直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：由直线的倾斜角为钝角，可得其斜率小于0，由此求得a的范围解答：解：直线y=（2a1）x+2斜率为2a1，由其倾斜角为钝角，可得2a10，即a故选：A点评：本题考查了直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题4（5分）一个圆柱的底面直径和高都等于4，则圆柱的
9、表面积为（）A24B16C20D64考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：空间位置关系与距离分析：求出圆柱的底面半径，结合已知中的高，代入圆柱的表面积公式，可得答案解答：解：圆柱的底面直径等于4，圆柱的底面半径r=2，又圆柱的高l=4，圆柱的表面积S=2r（r+l）=24，故选：A点评：本题考查的知识点是旋转体，圆柱的表面积公式，难度不大，属于基础题5（5分）已知直线l过圆x2+（y3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）Ax+y2=0Bxy+2=0Cx+y3=0Dxy+3=0考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，
10、再利用点斜式求直线l的方程解答：解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是 y3=x0，即xy+3=0，故选：D点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题6（5分）设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论解答：解：A若mn，n，则m或m或m，故A错误B若m，则m或m或m，故B错误C若m，n，n，则m，正确D若mn，n，则m或m或m，故D错误
11、故选：C点评：本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理7（5分）圆C1：（x6）2+y2=1和圆C2：（x3）2+（y4）2=36的位置关系是（）A外切B相交C内切D内含考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：计算题；直线与圆分析：求出两个圆的圆心与半径，判断两个圆的圆心距离与半径和与差的关系即可判断两个圆的位置关系解答：解：因为圆C1：（x6）2+y2=1的圆心坐标（6，0），半径为1，圆C2：（x3）2+（y4）2=36的圆心坐标（3，4），半径为6，所以圆心距为=5，因为5=61，所以两个圆的关系是内切故选C点评：本题考查两个圆的位置关系的应用，
12、考查计算能力8（5分）正三角形ABC的边长为2，ABC直观图（斜二测画法）的面积是（）ABCD2考点：斜二测法画直观图 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由已知中正ABC的边长为2，可得正ABC的面积，进而根据ABC的直观图ABC的面积S=S，可得答案解答：解：正ABC的边长为2，正ABC的面积S=设ABC的直观图ABC的面积为S则S=S=故选C点评：本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S与原图面积S之间的关系S=S，是解答的关键9（5分）给出下面4个命题各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；经过球面上不同的两点只能作球的一个大圆；两条异面直线的平行投影可平行；过平面外
13、的一条直线，只能作一个平面和这个平面平行；其中正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：结合正棱柱的性质解答；考虑两点的特殊位置只要两条异面直线的投影有平行的情况即可；注意过平面外的一条直线，此直线与平面的关系解答：解：对于，各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱，因为各相邻侧面并不一定互相垂直这样的四棱柱就不是正四棱柱，故错误；对于，如果这两点是直径的两个端点，则能做无数个球大圆；故错误；对于，两条异面直线的平行投影可平行；当两条异面直线处在两个平行的平面中且此两平面都与已知平面垂直时，两直线的投影是两
14、条平行线；对于，过平面外的一条直线，如果此直线与平面相交时，不可能过此直线作出与已知平面平行的平面，故错误故选A点评：本题考查了正棱柱、球与圆以及空间线面关系；知识较综合，属于中档题10（5分）设f（x）=ah（x）+bg（x）+4，其中h（x），g（x）都是奇函数，a，b是不同时为零的常数，若flg（log310）=5，则flg（lg3）等于（）A5B7C3D1考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据已知条件容易判断f（x）4是奇函数，而lg（log310）=lg（lg3），所以flg（lg3）4=flg（lg3）4=1，从而得出flg（lg3）=3解答：解：f（x）4=ah
15、（x）+bg（x）；h（x），g（x）都是奇函数，a，b不同时为0；函数f（x）4是奇函数；而flg（log310）=flg（lg3）=5；flg（lg3）4=flg（lg3）4=1；flg（lg3）=3故选C点评：考查奇函数的定义，对数的运算，以及换底公式11（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的侧棱长为2，底面边长为4，则该球的表面积是（）A36B32C18D16考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：设球半径为R，底面中心为O且球心为O正四棱锥PABCD中根据AB=4，PA=2，算出AO=2，可得PO=2，OO=POPO=2R，在RtAOO中利用勾股定理建
16、立关于R的等式，解出R=3，再利用球的表面积公式即可得到外接球的表面积解答：解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，正四棱锥PABCD中AB=4，PA=2，AO=2，可得PO=2，OO=POPO=2R在RtAOO中，AO2=AO2+OO2，R2=（2）2+（2R）2，解之得R=3，因此可得外接球的表面积为：4R2=36故选：A点评：本题给出正四棱锥的形状，求它的外接球的表面积，着重考查了正棱锥的性质、多面体的外接球、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题12（5分）直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且AOB=120（O是坐标原点），则点P
17、（a，b）与点（1，1）之间距离的最大值为（）AB4CD考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：根据AOB=120，得到圆心O到直线ax+by=1的距离d=，建立关于a，b的方程，利用数形结合即可得到结论解答：解：直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且AOB=120（O是坐标原点），圆心O到直线ax+by=1的距离d=，即a2+b2=4，则点P（a，b）与点C（1，1）之间距离|PC|=，则由图象可知点P（a，b）与点（1，1）之间距离的最大值为|OP|+2=，故选：A点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用以及两点间距离的求解，利用数形结合是解决
18、本题的关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）函数f（x）=ex+x2+2x2的零点个数为2考点：函数零点的判定定理 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：函数f（x）=ex+x2+2x2的零点个数即y=ex与y=x22x+2的交点的个数，作图求解解答：解：函数f（x）=ex+x2+2x2的零点个数即y=ex与y=x22x+2的交点的个数，作y=ex与y=x22x+2的图象如下，共有2个交点，故答案为：2点评：本题考查了函数的图象与函数的零点的关系应用，属于基础题14（5分）如图所示一个几何体的三视图，则该几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系
19、与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=22=2，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V=，故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状15（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，且当x1时，f（x）=，若实数a满足f（2a）f（a+1），则a的取值范围是考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：先根据y=f（x+1）是偶函数判断出函数f（x）关于直线x=1对称，然后再判断函数f（x）在
20、1，+）上的单调性，再结合对称性即可得到关于a的不等式，解之即可解答：解：因为y=f（x+1）是偶函数，所以函数f（x）关于直线x=1对称，当1x2时，f（x）=（x1）2+1，在1，2上是减函数，且f（2）=0；当x2时，f（x）=ln（x1）也是减函数，且当x2时，f（x）0，故函数在1，+）上为减函数，结合函数的奇偶性可知，f（x）在（，1上增函数，且关于x=1对称，所以由f（2a）f（a+1）可得，|2a1|a+11|，即|2a1|a|，即3a24a+10，解得（）故答案为：点评：本题考查了分段函数条件下的不等式问题，因为涉及到函数的奇偶性，因此应研究函数的单调性构造关于a的不等式16
21、（5分）已知圆O：x2+y2=1和点A（2，0），若存在定点B（b，0）（b2）和常数满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=|MA|，则点P（b，）到直线（m+n）x+ny2nm=0距离的最大值为考点：直线和圆的方程的应用 专题：综合题；直线与圆分析：利用|MB|=|MA|，可得（xb）2+y2=2（x+2）2+2y2，由题意，取（1，0）、（1，0）分别代入，即可求得b、，直线（m+n）x+ny2nm=0，即m（x1）+n（x+y2）=0过点（1，1），利用两点间的距离公式，即可得出结论解答：解：设M（x，y），则|MB|=|MA|，（xb）2+y2=2（x+2）2+2y2，由题意，取（1
22、，0）、（1，0）分别代入可得（1b）2=2（1+2）2，（1b）2=2（1+2）2，b=，=直线（m+n）x+ny2nm=0，即m（x1）+n（x+y2）=0过点（1，1），点P（b，）到直线（m+n）x+ny2nm=0距离的最大值为=故答案为：点评：本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知直线l：ax+3y+1=0（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）若直线l与直线x+（a2）y+a=0平行，求a的值考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的截距式方程 专题：直线与圆分析：（1）直接把直线方程
23、化为截距式，由截距相等求得a的值；（2）由两直线平行结合系数间的关系列式求得a的值解答：解：（1）若a=0，直线为：y=，直线在两坐标轴上的截距不等；当a0时，由l：ax+3y+1=0，得，则a=3；（2）由直线l：ax+3y+1=0与直线x+（a2）y+a=0平行，得，解得：a=3点评：本题考查了直线方程的截距式，考查了直线方程的一般式与直线平行的关系，是基础题18（12分）在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，BCSA，AS=AB，过A作APSB，垂足为F，点E、G分别是棱SA，SC的中点求证：（1）平面EFG平面ABC；（2）ABBC考点：平面与平面平行的判定；棱锥的结构特征 专题：
24、证明题；空间位置关系与距离分析：（1）由三角形中位线性质得EFAB，从而EF平面ABC，同理：FG平面ABC，由此能证明平面EFG平面ABC（2）由已知条件推导出AFBC，利用BCSA，由此能证明BC面SAB，即可证明ABBC解答：证明：（1）AS=AB，AFSB，F是SB的中点，E、F分别是SA、SB的中点，EFAB，又EF平面ABC，AB平面ABC，EF平面ABC，同理：FG平面ABC，又EFFG=F，EF、FG平面ABC，平面EFG平面ABC（2）平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBC=SB，AF平面SAB，AFSB，AF平面SBC，又BC平面SBC，AFBC，BCSA，SAAF=A
25、，SA、AF平面SAB，BC面SAB，AB面SAB，BCAB点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查线面平行的证明，考查线面垂直的判定与性质，注意空间思维能力的培养19（12分）已知f（x）是定义在（0，+）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（xy）（1）求证：f（x）f（y）=；（2）若f（2）=3，解不等式f（1）f（）9考点：抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据f（x）+f（y）=f（xy），将x代换为，代入恒等式中，即可证明；（2）再利用f（x）是定义在（0，+）上的减函数，即可列出关于x的不等式，求解不等式，即可得到不等式的解集解答：解：（1）证明：f（x）+
26、f（y）=f（xy），将x代换为为，则有f（）+f（y）=f（y）=f（x）f（x）f（y）=f（）；（2）f（2）=3，f（2）+f（2）=f（4）=6，f（2）+f（4）=f（8）=9而由第（1）问知不等式f（1）f（）=f（x8）可化为f（x8）f（8）f（x）是定义在（0，+）上的减函数，x88且x80，8x16故不等式的解集是x|8x16点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查了利用赋值法求解抽象函数问题，解决本题的关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式，也就是将不等式进行合理的转化，利用单调性去掉“f”属于中档题20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底
27、面，AB=，BC=1，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点（1）求证：平面ABE平面B1BCC1；（2）求证：C1F平面ABE；（3）求多面体A1B1C1ABF的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，可得BB1AB，由于AB=，BC=1，AC=2，可得ABBC，利用线面垂直的判定定理可得：AB平面B1BCC1，即可证明平面ABE平面B1BCC1；（2）取AB的中点G，连接EG，FG，利用三角形中位线定理可得：FGAC，于是，可得FGEC1为平行四边形，得到C
28、1FEG，即可证明C1F平面ABE；（3）利用多面体A1B1C1ABF的体积V=即可得出解答：（1）证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，BB1AB，AB=，BC=1，AC=2，ABBC，BCBB1=B，AB平面B1BCC1，又AB平面ABE，平面ABE平面B1BCC1；（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG，E，F分别是A1C1，BC的中档，FGAC，FGEC1为平行四边形，C1FEG，又EG平面ABE，C1F平面ABE，C1F平面ABE；（3）解：多面体A1B1C1ABF的体积V=点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、平行四边形的性质、体积等基础知识，考查
29、空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题21（12分）已知点P（2，3t），Q（0，2t），（tR，t0）（1）当t=2时，求圆心在坐标原点且与直线PQ相切的圆的标准方程（2）是否存在圆心在x轴上的定圆M，对于任意的非零实数t，直线PQ恒与定圆M相切，如果存在，求出圆M的标准方程，如果不存在，请说明理由考点：直线和圆的方程的应用；圆的标准方程 专题：直线与圆分析：（1）根据t=2可以求得点P、Q的坐标，则易求直线PQ的方程，然后根据点到直线的距离和直线与圆的位置关系求得该圆的半径，据此来写圆的标准方程；（2）利用反证法进行证明设圆M的方程为（xx0）2+y2=r2（
30、r0），直线PQ方程为：（t21）x+2ty4t2=0由直线与圆的位置关系、点到直线的距离可以求得圆M的圆心和半径，所以易求得该圆的标准方程解答：解：（1）当t=2时，直线PQ的方程为3x+4y16=0，圆心（0，0）到直线的距离为，即r=所以，圆的标准方程为：x2+y2=；（2）假设存在圆心在x轴上的定圆M与直线PQ相切设圆M的方程为（xx0）2+y2=r2（r0），直线PQ方程为：（t21）x+2ty4t2=0因为直线PQ和圆相切，则=r，整理得：（t21）x04t2=r+rt2或（t21）x04t2=rrt2由可得（x0r4）t2x0r=0对任意tR，t0恒成立，则有，可解得所以存在与直
31、线PQ相切的定圆M，方程为：（x2）2+y2=4点评：本题考查了圆的标准方程，直线和圆的方程的应用解题时需要掌握点到直线的距离公式、圆的标准方程以及直线方程的求法22（12分）已知函数f（x）=aX，（a0且a1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称，且h（x）=g（a1）x+2（1）求h（x）的定义域；（2）当x3，4时，h（x）0恒成立，求a的取值范围考点：指数函数综合题 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据对数的意义得出（a1）x2，且a1，分类讨论求解不等式即可（2）f（x）有意义得：，解得：a，根据函数的单调性分类讨论当时，当a1时，求解即可解答：解：（1）
32、函数f（x）=aX，（a0且a1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称g（x）=logax，h（x）=g（a1）x+2h（x）=loga（a1）x+2），（a1）x+20，（a1）x2，且a1，当a10，即a1时，x，定义域为（，+），当，即0a1时，x，综上；当a1时，定义域为（，+），0a1时，定义域为（，）（2）当x3，4时，f（x）有意义得：，解得：a，当时，由h（x）0恒成立得：（a1）x+21，在x3，4上恒成立，a恒成立，a，当a1时，由h（x）0恒成立得：（a1）x+21，在x3，4上恒成立，a，a1，综上：a（）（1，+）点评：本题综合考查了函数的性质，运用最值，单调性求解不等式的恒成立问，属于中档题，难度不大
