1、福建省长汀县第一中学2015届高三下学期第一次综合测试数学（理）试题（完卷时间：120分钟；满分：150分）第卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的把正确选项涂在答题卡的相应位置上）第3题图1抛物线的准线方程为ABCD 2命题“，”的否定是A,B，C,D,3如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：； ； ，那么输出的复数是AB C D 4. 用、表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是A若，则 B若,，则C若，则 D若，则5. 设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为ABCD6在中，点在线段的
2、延长线上，且与点不重合，若，则实数的取值范围是ABCD 第7题图ABCD7. 如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个, 允许重复若填入A方格的数字大于方格的数字，则不同的填法共有A192种B128种C96种 D12种第8题图8函数（）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为，则函数图象的一条对称轴的方程为A B C D 9. 过双曲线（）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，则该双曲线的渐近线方程为ABCD10. 若将有理数集分成两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都
3、小于中的每一个元素，则称为有理数集的一个分割试判断，对于有理数集的任一分割，下列选项中，不可能成立的是A没有最大元素，有一个最小元素B没有最大元素，也没有最小元素C有一个最大元素，有一个最小元素D有一个最大元素，没有最小元素第卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）11的值等于12函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是13在约束条件下，目标函数（）的最大值为1，则的最大值等于14设函数（）给出以下三个判断：为偶函数；为周期函数；其中正确判断的序号是（填写所有正确判断的序号）第15题图15. 一个平面图由若干顶点与边组成
4、，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”已知图15是“优美图”，则点与边所对应的三个数分别为三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本小题满分13分）在数列中，点在直线上（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.17(本小题满分13分) 假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为，记此时教室里敞开的窗户个数为（）求的分布列；（）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，
5、班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为，求的数学期望18(本小题满分13分) 第18题图如图，椭圆的上、下顶点分别为、，已知点在直线：上，且椭圆的离心率（）求椭圆的标准方程；（）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足， 为线段中点，直线交直线于点，为线段的中点，求证：19(本小题满分14分) 如图，在边长为4的菱形中，点分别在边上，点与点、不重合，沿将翻折到的位置，使平面平面（）求证：平面；（）当取得最小值时，请解答以下问题：（）求四棱锥的体积；（）若点满足，试探究：直线与平面所成角的大小是否一定大于？并说明你的理由第19题图20(本小题
6、满分14分) 如图，一条宽为的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是，BC与河岸垂直，垂足为现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电修建地下电缆、水下电缆的费用分别是万元、万元.（）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，需要改造，旧电缆的改造费用是万元现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值（）如图，点在线段AD上，且铺设电缆的线路为、.若（），试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值第20题图21本题有(1)、(2)、(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题计分作答时，先用2B铅笔在
7、答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换利用矩阵解二元一次方程组（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为圆的参数方程为（为参数，），若直线与圆相切，求的值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知（，），求的最大值2015届高三数学(理科)试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10. C第卷 （非选择题 共100分）二、填空
8、题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11 12. 13. 14 15. 3、6、3三、解答题（本大题共6小题，共80分)16（本小题满分13分）解：（）由已知得，所以 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，3分所以5分（）由（）知，所以，7分所以，10分所以13分17(本小题满分13分) 解：（）的所有可能取值为0，1，2，3，4，1分， 6分的分布列为：01234 7分（）的所有可能取值为3，4，则8分，9分，11分的期望值.答：的期望值等于. 13分18(本小题满分13分) 解：（）依题意，得 1分，3分椭圆的标准方程为4分（）（法一）证明：设，则，且为线段中点， 5分又，直线
9、的方程为令，得 8分又，为线段的中点，9分 10分=12分13分（法二）同（法一）得： ，9分当时，此时，不存在，10分当时， 12分综上得13分19(本小题满分14分) （）证明：菱形的对角线互相垂直，1分 ， 平面平面，平面平面，且平面，平面, 2分 平面，.3分 ，平面. 4分（）如图，以为原点，建立空间直角坐标系.5分（）设 因为，所以为等边三角形，故，.又设，则，.所以，故 ，6分所以，当时，. 此时，7分由（）知，平面所以. 8分（）设点的坐标为，由（i）知，则，.所以，9分， ， 10分设平面的法向量为，则，因此直线与平面所成的角大于，即结论成立14分20.（本小题满分13分）解
10、：（）由已知可得为等边三角形.因为，所以水下电缆的最短线路为.过作于E，可知地下电缆的最短线路为、. 3分又，故该方案的总费用为 （万元） 6分（）因为所以.7分则， 9分令则 ，10分因为，所以，记当，即时，当，即时， ，所以，从而，12分此时，因此施工总费用的最小值为（）万元，其中13分21（本小题满分7分） 选修4-2，矩阵与变换解：方程组可写为， 2分系数行列式为，方程组有唯一解. 利用矩阵求逆公式得， 5分因此原方程组的解为，即 7分（2）（本小题满分7分） 选修4-4：坐标系与参数方程解：直线的极坐标方程为， 直线的直角坐标方程为， 2分又圆的普通方程为， 所以圆心为，半径为. 4分因为圆心到直线的距离，6分
