1、3.1.2空间向量的数乘运算内容标准学科素养1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律2.理解向量共线、向量共面的定义3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.提升逻辑推理发展直观想象授课提示：对应学生用书第54页基础认识知识点一空间向量的数乘运算平面向量的数乘运算是什么？满足哪些运算律？提示：(1)实数和向量a的乘积仍是一个向量(2)|a|a|.(3)a的方向当0时，a的方向与a方向相同；当0方向相同a的模是a的模的|倍0a0，其方向是任意的0方向相反(3)空间向量的数乘运算律若，是实数，a，b是空间向量，则有分配律：(ab)ab；()aaa；结合律：(a)()a.知识点
2、二共线向量与共面向量(1)在学习平面向量时，共线向量是怎样定义的？如何规定0与任何向量的关系？提示：方向相同或相反的两向量称为共线向量；0与任何向量是共线向量(2)对空间任意两个向量a与b，如果ab，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，ab?提示：类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab(b0) (3)对空间任意两个不共线的向量a，b，如果pxayb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，pxayb?提示：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一
3、的有序实数对(x，y)，使pxayb.知识梳理共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使ab若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb推论如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示若在l上取a，则式可化为t如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件
4、是存在有序实数对(x，y)，使xy或对空间任意一点O来说，有xy自我检测1已知空间四边形ABCD，M，G分别是BC，CD的中点，连接AM，AG，MG，则()等于()A.B.C. D.答案：A2满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是()A. B.C. D|答案：C3对于空间的任意三个向量a，b,2ab，它们一定是()A共面向量B共线向量C不共面向量D既不共线也不共面的向量答案：A授课提示：对应学生用书第55页探究一空间向量的数乘运算教材P89练习2如图，已知正方体ABCDABCD，点E，F分别是上底面AC和侧面CD的中心求下列各式中x，y的值：(1)x()；(2)xy；(3)xy
5、.解析：(1)在正方体中，x1.(2)AC()xy.(3)()，xy.例1已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值(1)xy；(2)xy.解析(1)如图所示，由向量加法的平行四边形法则可得()，.x，y.(2)22()22.x2，y2.方法技巧1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化2在ABC中，若D为BC边的中点，则()，这一结论可视为向量形式的中点公式，应用非常广泛，应熟练
6、掌握跟踪探究1.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简：；(2)设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求实数x，y，z的值解析：(1)().(2)()，所以x，y，z.探究二空间共线向量定理及其应用教材P99习题3.1B组2题改编如图，已知空间四边形OABC中，OAOB，CACB，点E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明：E，F，G，H分别为OA，OB，BC，CA的中点，.222()2，ABEF，且|2|.同理HGAB，且|2|，四边形EFGH是平行四边形例2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在A
7、1D1上，且2，点F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明设a，b，c.因为2，所以，所以b，()()abc.所以abc.又bcaabc，所以.因为与有公共点E，所以E，F，B三点共线方法技巧1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别2判断或证明两向量a，b(b0)共线，就是寻找实数，使ab成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达跟踪探究2.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线解析：M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABE
8、F都是平行四边形，.又，2，即2.与共线探究三空间共面向量定理及其应用阅读教材P88例1如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使k，求证：E，F，G，H四点共面题型：空间四点共面的判定方法步骤：(1)由数乘运算表示出向量，.(2)由向量减法运算得出.(3)由、的关系得出、的关系，从而判定E，F，G，H四点共面例3已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解析(1)因为，所以632，所以33(22)()，因此322.故向量，共面(2)由(1)知向
9、量，共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内方法技巧1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若axbyc，则向量a，b，c共面；(2)寻找平面，证明这些向量与平面平行2对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)xy；(2)对空间任一点O，xy；(3)(或，或)跟踪探究3.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面(1)3；(2)4.解析：(1)3，()()，为共面向量，P与A，B，M共面(2)2()()2，根据空间向量共
10、面的推论，点P位于平面ABM内的充要条件是xy，P与A，B，M不共面授课提示：对应学生用书第56页课后小结利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题素养培优混淆共面向量与共线向量的相关结论致误已知e1，e2是两个非零空间向量，如果e12e2，3e14e2，e18e2，则下列结论正确的是()AA，B，C，D四点共线BA，B，C，D四点共面CA，B，C，D不一定共面D无法确定A，B，C，D四点的位置关系易错分析由已知条件，与不共线，且2e14e22(e12e2)2，由此得().若设，则A，B，E三点共线，并不是A，B，C，D四点共线考查逻辑推理的学科素养自我纠正因为2e14e22(e12e2)2，即，所以由共面向量定理可知，三个向量共面又因为A是公共点，所以A，B，C，D四点共面，故选B.答案：B
