1、专题检测一三角函数与解三角形一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022福建龙岩一模)已知=-,则tan 2=()A.B.C.D.2.(2021全国乙文4)函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是()A.3和B.3和2C.6和D.6和23.(2022山西吕梁模拟)若点Msin,cos在角的终边上,则cos 2=()A.2B.-2C.D.-4.(2022山东泰安模拟)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,cos2,则ABC的形状一定是()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5.(20
2、22湖南湘潭三模)若函数f(x)=cos 2x+sin在(0,)上恰有2个零点,则的取值范围为()A.B.C.D.6.(2022山东青岛一模)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x+1(00,0,|1)的部分图象如图所示,下列结论正确的是()A.=-B.将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2sinx的图象C.f(x)的图象关于直线x=-1对称D.若|x1-x2|4,则|f(x1)-f(x2)|0)的零点依次构成一个公差为的等差数列,把f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则()A.g(x)在上单调递增B.是g(x)的一个对称中心C.g(x)是奇函数D.
3、g(x)在区间上的值域为0,212.(2022广东汕头模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B+sin C=2sin A,()A.若A=,c=1,则a=1B.若A=,c=1,则ABC的面积为C.若b=2,则A的最大值为D.若b=2,则ABC周长的取值范围为(4,12)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022广东佛山二模)已知sin,则sin 2=.14.(2022山东聊城一模)若f(x)=2sin(x+)-cos x为奇函数,则=.(填写符合要求的一个值)15.(2022山东枣庄滕州高三检测)已知ABC的三个内角分别为A,B,C,且sin A
4、,sin B,sin C成等差数列,则角B的取值范围是.16.(2022北京东城一模)某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示,线段AB表示角楼的高,C,D,E为三个可供选择的测量点,点B,C在同一水平面内,CD与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案,从以下六组几何量中选择三组进行测量,则可以选择的几何量的编号为.(只需写出一种方案)图1C,D两点间的距离;C,E两点间的距离;由点C观察点A的仰角;由点D观察点A的仰角;ACE和AEC;ADE和AED.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022四川成都郫都一中高
5、三检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b=2c.(1)求tan B;(2)求sin.18.(12分)(2022山东淄博一模)从,asin Bsin C-bcos Acos C=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,求角B的大小.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)(2022江苏盐城模拟)已知函数f(x)=2sin xcos x-cos 2x(xR).(1)求函数f(x)在0,上的单调递增区间;(2)设,且f()=,求sin 2的值.20.(12分)(2022广东茂名一模
6、)如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75距离60海里处,小岛B北偏东15距离(30-30)海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离;(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.21.(12分)(2022福建福州模拟)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin C=sin C+cos C,A=.(1)求c;(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件,判断该三角形是否存在?若存在,求出三角形的面积;若不存在,请说明理由.BC边上的中线长为,AB边上的中线长为,三角形的周长为6.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
7、22.(12分)(2022江苏金陵中学二模)已知四边形ABCD,A,B,C,D四点共圆,AB=5,BC=2,cosABC=-.(1)若sinACD=,求AD的长;(2)求四边形ABCD周长的最大值.专题检测一三角函数与解三角形1.B解析 因为=-,所以tan =,所以tan 2=.2.C解析 f(x)=sin,故函数f(x)的最小正周期T=6,函数f(x)的最大值为.故选C.3.C解析 因为sin=sin=-sin=-,cos=cos,即M,所以cos =-,则cos 2=2cos2-1=.4.B解析 因为cos2,所以,所以cos A=,即cos Asin C=sin B=sin(A+C)=
8、sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=0,因为sin A0,所以cos C=0,因为C(0,),所以C=,即ABC是直角三角形.5.B解析 由题意,函数f(x)=cos 2x+sinsin,因为0x,所以2x+2+,又由f(x)在(0,)上恰有2个零点,所以22+3,解得,所以的取值范围为.6.A解析 f(x)=sin+1,f(x)的图象先向左平移个单位长度,然后再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)=sin2x+-=sin2x+的图象,故gsin=sin=0,所以=k,kZ,=k+,kZ,由于01,所以=.7.B解析 设塔高AB的高度为h m,在RtABC中
9、,因为ACB=45,所以BC=h.在RtABD中,因为ADB=30,所以BD=h.在BCD中,BCD=60,BC=h,BD=h,根据余弦定理可得,BD2=BC2+CD2-2BCCDcos 60,即(h)2=h2+602-2h60,解得h=30或h=-60(舍去).8.D解析 由图可知A=2,函数f(x)的最小正周期为T=4(5-3)=8,则=,f(5)=2sin=-2,得sin=-1,所以+=+2k(kZ),得=+2k(kZ),因为|1,得=,所以f(x)=2sin,故A项错误;若要得到函数y=2sinx的图象,需将f(x)的图象向右平移1个单位长度,故B项错误;f(-1)=2sin=0,故C
10、项错误;f(x)的最小正周期为T=8,所以若|x1-x2|4=,则|f(x1)-f(x2)|BO,所以最小仰角为30.11.AB解析 因为f(x)=sin 2x+cos 2x(0),所以f(x)=2sin 2x+cos 2x=2sin,因为函数f(x)=sin 2x+cos 2x(0)的零点依次构成一个公差为的等差数列,所以,所以=1,所以f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到g(x)=2sin=2sin=-2cos 2x的图象,即g(x)=-2cos 2x的图象,对于A,当x时,2x,因为y=cos x在上单调递减,所以g(x)在上单调递增,故A正确;对于B,
11、g=-2cos=-2cos=0,故是g(x)的一个对称中心,故B正确;对于C,g(x)为偶函数,故C错误;对于D,因为x,所以2x,所以cos 2x,所以g(x)-1,2,故D错误.12.ACD解析 因为sin B+sin C=2sin A,所以b+c=2a.对于A和B,若c=1,则b=2a-1,cos A=,解得a=1,ABC的面积S=bcsin A=,A正确,B错误;对于C,若b=2,则c=2a-2,cos A=a-1+2-1-1=,当且仅当a=2时,等号成立,所以A的最大值为,C正确;对于D,若b=2,则根据三边长度关系可得解得a4,ABC的周长为a+b+c=3a,则43a12,故ABC
12、周长的取值范围为(4,12),D正确.13.解析 sin=-sin,所以sin=-,所以sin 2=cos=cos=1-2sin2=1-2.14.(答案不唯一,符合题意均可)解析 f(x)=2sin(x+)-cos x=2(sin xcos +cos xsin )-cos x=2cos sin x+(2sin -1)cos x,因为f(x)为奇函数,且定义域为R,所以f(0)=0.所以2sin -1=0,即sin =,所以=2k+或=2k+,kZ,所以的值可以是.15.解析 因为2sin B=sin A+sin C,由正弦定理得b=,由余弦定理得cos B=,将b=代入整理得cos B=,因为
13、2,当且仅当a=c时取“=”号,所以cos B=,又因为0B,所以0B.16.或解析 经分析可知,若选,在ACD中,ACD=-,ADC=+,CAD=-,所以,所以AC=CD,所以AB=ACsin =CD,其中各个量均已知.若选,已知ACE和AEC,则CAE=-ACE-AEC,由,所以AC=CE,所以AB=ACsin =CE,其中各个量均已知.其他选择方案均不可求得AB长.17.解 (1)A=,b=2c,A+B+C=,由正弦定理得sin B=2sin C,sin B=2sin,化简得2sin B=cos B,即tan B=.(2)由tan B=,B是锐角,且sin B=.sin B=2sin C
14、,sin C=.又b=2c,CB,C是锐角,cos C=.sin 2C=,cos 2C=.sin=sin 2Ccos+cos 2Csin.18.解 若选:,2sin Acos B=sin(B+C)=sin(-A)=sin A,sin A0,cos B=,又0B,B=.若选:,由正弦定理得,整理得b2=a2+c2-ac,由余弦定理得cos B=,又0B,B=.若选:asin Bsin C-bcos Acos C=b,sin Asin Bsin C-sin Bcos Acos C=sin B,-cos(A+C)=cos B=,又0B,B=.19.解 (1)f(x)=2sin xcos x-cos
15、2x=sin 2x-cos 2x=2sin,由-+2k2x-+2k,可得-+kx+k,kZ,又x0,0xx,函数f(x)在0,上的单调递增区间为.(2)f()=2sin,可得sin,则-2-,cos,因此sin 2=sinsincos.20.解 (1)在ABC中,AB=60,BC=30-30,ABC=180-75+15=120,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=602+(30-30)2-260(30-30)cos 120=5 400,AC=30,故小岛A到小岛C的距离是30海里.(2)根据正弦定理得,解得sinACB=.在ABC中,ABC=120,ACB为锐角,AC
16、B=45,CAB=180-120-45=15.由75-15=60,得游船应该沿北偏东60的方向航行.21.解 (1)由bsin C=sin C+cos C得csin B=2sin,又A=,A+B+C=,所以csin B=2sin(-B)=2sin B,而0B,故sin B0,故c=2.(2)选,(方法一)设BC边上的中线为AD,则AD=,由cosADB=-cosADC,得=-,即-4=-b2,即a2=2b2+6,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得a2=b2-2b+4,即b2+2b+2=0,该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.(方法二)设BC边上的中线为AD,则),两边平方得+
17、2),即4+22b+b2,即b2+2b+2=0,易知该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.(方法三)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.故C点坐标为,即,B点坐标为(2,0),所以BC边的中点坐标为1+b,b,由BC边上的中线长为得1+b2+,整理得b2+2b+2=0,该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.选,设AB边上的中线为CF,则CF=.在ACF中,由余弦定理得CF2=AF2+AC2-2ACAFcos A,即7=1+AC2-21ACcos,整理得AC2-AC-6=0,解得AC=3或AC=-2(舍去),故ABC的面积S=ACABsin A=32.选,依题意得AB+
18、BC+CA=6,由(1)知AB=2,所以BC+CA=4,在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+CA2-2ABCAcos A,所以CB2=22+CA2-22CA,即CB2=4+CA2-2CA,所以(4-CA)2=4+CA2-2CA,解得BC=CA=2,所以ABC的面积S=ACABsin A=22.22.解 (1)在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=52+22-252=45,得AC=3.因为cosABC=-,0ABC,所以sinABC=.因为A,B,C,D四点共圆,所以ABC与ADC互补,所以sinADC=,cosADC=,在ACD中,由正弦定理得,所以AD=5.(2)因为四边形ABCD的周长为DC+DA+BC+BA=DC+DA+7,在ACD中,由余弦定理得AC2=DA2+DC2-2DADCcosADC,即45=DA2+DC2-DADC=(DA+DC)2-DADC(DA+DC)2-(DA+DC)2,所以(DA+DC)2450,所以DA+DC15,当且仅当DA=DC=时,(DA+DC)max=15,所以四边形ABCD周长的最大值为15+7.
