1、第三讲圆锥曲线的综合应用素能演练提升十三SUNENG YANLIAN TISHENG SHISAN掌握核心,赢在课堂1.某圆锥曲线有两个焦点F1,F2,其上存在一点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则此圆锥曲线的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.32或23解析:依题意,设|PF1|=4m,|F1F2|=3m,|PF2|=2m.若此圆锥曲线是椭圆,则相应的离心率为|F1F2|PF1|+|PF2|=3m4m+2m=12;若此圆锥曲线是双曲线,则相应的离心率为|F1F2|PF1|-|PF2|=3m4m-2m=32.故选A.答案:A2.在ABC中,AC=6,BC=7,c
2、os A=15,O是ABC的内心,若OP=xOA+yOB,其中0x1,0y1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为()A.1036B.536C.103D.203解析:OP=xOA+yOB,其中0x1,0y1,动点P的轨迹所覆盖的区域是以OA,OB为邻边的平行四边形及其内部,则动点P的轨迹所覆盖的面积S=ABr,r为ABC的内切圆的半径.在ABC中,由余弦定理可知cos A=62+AB2-7226AB=15,整理得5AB2-12AB-65=0,解得AB=5,因此SABC=1265sin A=66.又O为ABC的内心,故O到ABC各边的距离均为r,此时ABC的面积可以分割为三个小三角形的面积的和,SABC
3、=12(6+5+7)r,即12(6+5+7)r=66,解得r=236,即所求的面积S=ABr=5236=1036.答案:A3.(2014云南昆明第一次摸底调研,12)过椭圆x24+y2=1的左焦点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于A,C,B,D四点,则四边形ABCD面积的最大值与最小值之差为()A.1725B.1825C.1925D.45解析:当直线AC的斜率存在且不为0时,设直线AC:y=k(x+3),则BD:y=-1k(x+3),由y=k(x+3),x24+y2=1消去y得(4k2+1)x2+83k2x+12k2-4=0,设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-83k24k2
4、+1,x1x2=12k2-44k2+1,|AC|=(1+k2)(x1-x2)2=4k2+14k2+1,将k换成-1k,得|BD|=4k2+1k2+4,四边形ABCD的面积S=12|AC|BD|=8(k2+1)2(k2+4)(4k2+1),设k2+1=t(t1),则S=84-3t1+3t,令3t=m(0m3),则S=8(4-m)(1+m)=8-m2+3m+4,0m3,3225S0)为抛物线y2=4x内一个定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于点A,B,C,D,且M,N分别是AB,CD的中点.(1)若m=1,k1k2=-1,求EMN面积的最小值;(2)若k1+k2=1,求证:直线MN
5、过定点.解:(1)当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点,k1k2=-1,ABCD.设AB的方程为y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k1(x-1),y2=4x,得k1y2-4y-4k1=0,y1+y2=4k1,y1y2=-4.Mx1+x22,y1+y22,M2k12+1,2k1.同理,点N(2k12+1,-2k1),SEMN=12|EM|EN|=122k122+2k12(2k12)2+(-2k1)2=2k12+1k12+222+2=4,当且仅当k12=1k12,即k1=1时,EMN的面积取最小值4.(2)证明:设AB的方程为y=k1(x-m),A(x1,y1),B(
6、x2,y2),由y=k1(x-m),y2=4x,得k1y2-4y-4k1m=0,y1+y2=4k1,y1y2=-4m.Mx1+x22,y1+y22,M2k12+m,2k1.同理,点N2k22+m,2k2.kMN=k1k2k1+k2=k1k2.MN的方程为y-2k1=k1k2x-2k12+m,即y=k1k2(x-m)+2.直线MN恒过定点(m,2).5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录于下表中:x3-242y-230-422(1)求C1,C2的标准方程.(2)是否存在直线l满足条件:过C2的焦点F;与C1交于不同的两
7、点M,N,且满足OMON?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)设抛物线C2:y2=2px(p0),则有y2x=2p(x0),据此验证四个点知(3,-23),(4,-4)在抛物线上,易求C2:y2=4x.设C1:x2a2+y2b2=1(ab0),把点(-2,0),2,22代入得4a2=1,2a2+12b2=1,解得a2=4,b2=1.所以C1的标准方程为x24+y2=1.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时,不满足题意.当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),与C1的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由x24+y2=1,y=k(x-1),消去y并整理得(1
8、+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,于是x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4(k2-1)1+4k2.y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1,即y1y2=k24(k2-1)1+4k2-8k21+4k2+1=-3k21+4k2.由OMON,即OMON=0,得x1x2+y1y2=0.(*)将代入(*)式,得4(k2-1)1+4k2-3k21+4k2=k2-41+4k2=0,解得k=2,所以存在直线l满足条件,且l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0.6.平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点的直线x+y-3=0
9、交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(3,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,
10、x26+y23=1,解得x=433,y=-33,或x=0,y=3.因此|AB|=463.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-533n0,y1+y2=-6mt3m2+4,y1y2=3t2-123m2+4.由M,N,S三点共线知kMS=kNS,即y1x1-4=-y2x2-4,所以y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,整理得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,所以2m(3t2-12)-6mt(t-4)3m2+4=0,即24m(t-1)=0,t=1,所以直线MP过定点D(1,0),同理可得直线NQ也过定点D(1,0),即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点,且定点坐标为(1,0).
