1、4.5.3 函数模型的应用学 习 目 标核 心 素 养 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)2能建立函数模型解决实际问题(重点、难点)3了解拟合函数模型并解决实际问题(重点)通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养.爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕若每月坚持投资 100 元，40 年之后将成为百万富翁也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和 y 随着存期
2、 x 变化的函数式.假设存入的本金为 1 000 元，每期的利率为 2.25%.问题：五期后的本利和是多少？提示：解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即 ya1rx，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.1常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b 为常数，k0)(2)二次函数模型yax2bxc(a，b，c 为常数，a0)(3)指数函数模型ybaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且a1)(4)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n 为常数，m0，a0且 a1)(5)幂函数模型yaxnb(a，b 为常数，a0)(6)分段函数模型yaxbxm，cxdxm2.
3、建立函数模型解决问题的基本过程思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原 这些步骤用框图表示如图：1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述()(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型()(3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型()答案(1)(2)(3)2某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 yalog2
4、(x1)，若该动物在引入一年后的数量为 100 只，则第 7 年它们发展到()A300 只 B400 只 C600 只D700 只A 将 x1，y100 代入 yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得 a100.所以 x7 时，y100log2(71)300.3据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 2 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次 0.8 元，普通车存车费是每辆一次 0.5 元，若普通车存车数为 x辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是()Ay0.3x800(0 x2 000)By0.3x1 600(0 x2 000)Cy0.3x800(
5、0 x2 000)Dy0.3x1 600(0 x2 000)D 由题意知，变速车存车数为(2 000 x)辆次，则总收入 y0.5x(2 000 x)0.80.3x1 600(0 x2 000)4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营据市场分析，每辆客车营运的利润 y 与营运年数 x(xN)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过_年7 设二次函数 ya(x6)211，又过点(4,7)，所以 a1，即 y(x6)211.解 y0，得 6 11x6 11，所以有营运利润的时间为 2 11.又 62 117，所以有营运利润的时间不超过 7 年利用已知函数模型解决实际问题【例 1】物
6、体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度是 T，则 TTa(T0Ta)12th，其中 Ta表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用 88 热水冲的速溶咖啡，放在 24 的房间中，如果咖啡降温到 40 需要 20 min，那么降温到 32 时，需要多长时间？解 先设定半衰期 h，由题意知 4024(8824)1220h，即141220h，解之，得 h10，故原式可化简为 T24(8824)12t10，当 T32 时，代入上式，得 3224(8824)12t10，即12t10 86418123，t30.因此，需要 30 min，可降温到 3
7、2.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.跟进训练1某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关系为：Pt200t25，t10025t30.(tN*)设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q40t(0t30，tN*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？解 设日销售金额为 y(元)，则 yPQ，所以 yt220t8000t25，t2140t4 00025t30.(tN*)当 0t25 且 tN*时，y(
8、t10)2900，所以当 t10 时，ymax900(元)当 25t30 且 tN*时，y(t70)2900，所以当 t25 时，ymax1 125(元)结合得 ymax1 125(元)因此，这种商品日销售额的最大值为 1 125 元，且在第 25 天时日销售金额达到最大.自建确定性函数模型解决实际问题【例 2】2010 年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳 14 年代学检测，检测出碳 14 的残留量约为初始量的 55.2%，（碳 14 的半衰期为 5730 年）能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？解 设样本中碳 14 的初始量为 k，衰减率为
9、 p(0p1)，经过 x 年后，残余量为 y.根据问题的实际意义，可选择如下模型：yk(1p)x(kR，且 k0；0p0)(1)写出 y 关于 x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值解(1)根据题意，由于最大畜养量为 m 只，实际畜养量为 x 只，则畜养率为xm，故空闲率为 1xm，由此可得 ykx1xm(0 xm)(2)对原二次函数配方，得 ykm(x2mx)kmxm22km4，即当 xm2时，y 取得最大值km4.拟合数据构建函数模型解决实际问题 探究问题1实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？提示：不一定2对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(
10、x2，y2)，(x3，y3)，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律【例 3】某企业常年生产一种出口产品，自 2016 年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知 2016 年为第 1 年，前 4 年年产量 f(x)(万件)如下表所示：x1234 f(x)4.005.587.008.44(1)画出 20162019 年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2020 年(
11、即 x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少 30%，试根据所建立的函数模型，确定 2020 年的年产量为多少？思路点拨 描点 依散点图选模 待定系数法求模 误差验模 用模 解(1)画出散点图，如图所示 (2)由散点图知，可选用一次函数模型 设 f(x)axb(a0)由已知得ab4，3ab7，解得a1.5，b2.5，f(x)1.5x2.5.检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.080.1，f(4)8.5，且|8.448.5|0.061.2，所以，这个男生偏胖.1掌握 2 种模型(1)指数函数模型；(2)对数函数模型2掌握 4 个步骤解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题
12、：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题3规避 1 个易错实际应用题易忘记定义域和作答1根据日常生活 A、B、C、D 四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()A B C D答案 B2若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y，则 x，y 的函数关系是()Ay0.
13、957 6x100By(0.957 6)100 xCy0.957 6100 xDy10.042 4x100A 由题意可知 y(95.76%)x100，即 y0.957 6x100.3某市的房价(均价)经过 6 年时间从 1 200 元/m2 增加到了 4 800 元/m2，则这6 年间平均每年的增长率是()A600 元 B50%C.3 21 D3 21C 设 6 年间平均年增长率为 x，则有 1 200(1x)64 800，解得 x3 21.4在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度 I（单位：安）与电线半径 r（单位：毫米）的三次方成正比，若已知电流通过半径为
14、 4 毫米的电线时，电流强度为 320 安，则电流通过半径为 3 毫米的电线时，电流强度为()A60 安B240 安C75 安D135 安D 由已知，设比例常数为 k，则 Ikr3.由题意，当 r4 时，I320，故有320k43，解得 k32064 5，所以 I5r3.故当 r3 时，I533135(安)故选D.5已知 A，B 两地相距 150 km，某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到达 B地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 km/h 的速度返回 A 地(1)把汽车离开 A 地的距离 s 表示为时间 t 的函数(从 A 地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速 v(km/h)表示为时间 t(h)的函数，并画出函数的图象解(1)汽车由 A 地到 B 地行驶 th 所走的距离 s60t(0t2.5)汽车在 B 地停留 1 小时，则汽车到 A 地的距离 s150(2.5t3.5)由 B 地返回 A 地，则汽车到 A 地的距离 s15050(t3.5)32550t(3.5t6.5)综上，s60t0t2.5，1502.5t3.5，32550t3.5t6.5，它的图象如图(1)所示(1)(2)(2)速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数关系式是 v600t2.5，02.5t3.5，503.5t6.5，它的图象如图(2)所示
