1、6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算素养目标定方向素养目标学法指导1理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律.(直观想象)2会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和.(直观想象)3能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算.(数学运算)定义一个量，必然要去研究其运算特征，发挥运算的力量.对于向量的运算可以类比数的运算，但又要把握向量与数量的不同，借助物理中的位移和力的分解理解向量的运算是学习的关键.必备知识探新知知识点平面向量的加法运算1向量加法的定义及运算法则定义求_两个向量和_的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点O
2、，作a，b，则_ab_结论向量叫做a与b的和，记作ab，即ab图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b作法作a，b.以OA，OB为邻边作OACB，连接OC，则ab结论对角线就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a0_0a_a_2三角不等式：|ab|_|a|b|_，当且仅当a，b方向相同时等号成立.3向量加法的运算律运算律结合律ab_ba_交换律(ab)c_a(bc)_关键能力攻重难题型探究题型一向量的加法及几何意义典例1(1)如图，已知a、b，求作ab.(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量abc.分析用三角形法则或平行四边形法则画图.解析(1)甲ab乙ab(2)作法
3、1：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量a，接着作向量b，则得向量ab；然后作向量c，则向量(ab)cabc即为所求.作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量a，b，c，以OA、OB为邻边作OADB，连接OD，则ab.再以OD、OC为邻边作ODEC，连接OE，则abc即为所求.归纳提升三角形法则与平行四边形法则的区别与联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”.(2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化
4、，解决具体问题时视情况而定.【对点练习】如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和.解析如下图中(1)、(2)所示，首先作a，然后作b，则ab.题型二向量加法运算律的应用典例2化简下列各式：(1)；(2)().分析首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和.解析(1)0(2)()()()0归纳提升向量运算中化简的两种方法：(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.【对点练习】如
5、图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DEBC，ABCF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)_；(2)_；(3)_.解析由已知可得四边形DFCB是平行四边形.(1)易知.由三角形法则得：.(2)易知，所以.(3).题型三向量加法的实际应用典例3在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.分析解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解.解析如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行800
6、km，从B地按南偏东55的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是|；两次飞行的位移的和指的是.依题意，有|8008001 600(km).又35，55，ABC355590.所以|800(km).其中BAC45，所以方向为北偏东354580.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80.归纳提升应用向量解决平面几何问题的基本步骤【对点练习】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).解析如图，设、分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则.易得ECG1
7、8015030，FCG18012060，|cos30105.|cos60105A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.易错警示对不等式|ab|a|b|中等号成立条件理解不清致误典例4若a，b是非零向量，且|ab|b|a|，则(D)Aa，b同向共线Ba，b反向共线Ca，b同向共线且|b|a|Da，b反向共线且|b|a|错解B辨析错解只考虑了向量的方向，但没有注意到其模的大小关系.正解由于|ab|b|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|a|，故选D误区警示弄清ab的方向以及模与向量a，b的方向、模之间的关系：(1)当a与b同向共线时，ab与a，b同向，且|ab|a|b|.(2)当a与b反向共线时，若|a|b|，则ab与a的方向相同，且|ab|a|b|；若|a|b|0，则向量ab的方向(A)A与向量a的方向相同B与向量a的方向相反C与向量b的方向相同D不确定
