1、5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念学 习 目 标核 心 素 养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号(易错点)3.掌握公式并会应用.1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养.2.借助公式的运算，提升数学运算素养.江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然问题：(1)把水车放在坐标系中，点P为水车上一点，它转动的角度为，水车的半径为r，你能写出点P的坐标吗？(2)三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？(3)三角函数在各象限的符号与角的
2、终边上点P的坐标有怎样的关系？提示：(1)设P(x，y)，根据三角函数的定义知sin ，cos ，则P(rcos ，rsin )(2)三角函数值是比值，与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关(3)由三角函数的定义知sin ，cos ，tan ，三角函数在各象限的符号由角终边上的点P的横坐标、纵坐标的正负确定1单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆2任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设是一个任意角，R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(2)结论y叫做的正弦函数，记作sin ，即sin y；x叫做的余弦函数，记作cos
3、 ，即cos x；叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)(3)总结tan (x0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数3正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan 4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”5公式一1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)sin 表示sin与的乘积()(2)设角终边上的点P(x，y)，r|OP|0，则sin ，且y越大，sin 的值越大()(3)终边相同的角的同一三角函
4、数值相等()(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.()提示(1)错误sin 表示角的正弦值，是一个“整体”(2)错误由任意角的正弦函数的定义知，sin .但y变化时，sin 是定值(3)正确(4)错误终边落在y轴上的角的正切函数值不存在答案(1)(2)(3)(4)2sin(315)的值是()ABC. DCsin(315)sin(36045)sin 45.3已知sin 0，cos 0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角B由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角是第二象限角4已知角的终边过点P(12,5)，则sin ，cos ，tan .，的终边过点P(12,5)，
5、r13.sin ，cos ，tan .三角函数的定义及应用探究问题1一般地，设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin ，cos ，tan 为何值？提示：sin ，cos ，tan (x0)2sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin ，cos ，tan 的值只与的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变【例1】(1)已知角的终边上有一点P(x,3)(x0)，且cos x，则sin tan 的值为 (2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan 的值思路点拨(1)(2) (1)或因为r，cos ，所以x.
6、又x0，所以x1，所以r.又y30，所以是第一或第二象限角当为第一象限角时，sin ，tan 3，则sin tan .当为第二象限角时，sin ，tan 3，则sin tan .(2)解直线xy0，即yx，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan ；在第四象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan .1将本例(2)的条件“xy0”改为“y2x”其他条件不变，结果又如何？解当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r|OP|，得sin ，cos ，tan 2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，
7、由r|OQ|，得：sin ，cos ，tan 2.2将本例(2)的条件“落在直线xy0上”改为“过点P(3a,4a)(a0)”，求2sin cos .解因为r5|a|，若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，所以2sin cos 1.若a0)则sin ，cos .已知的终边求的三角函数时，用这几个公式更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论三角函数值符号的运用【例2】(1)已知点P(tan ，cos )在第四象限，则角终边在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限(2)确定下列三角函数值的符号：sin 156；c
8、os；cos(450)；tan；sin；tan 556.思路点拨(1)先判断tan ，cos 的符号，再判断角终边在第几象限(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号(1)C因为点P在第四象限，所以有由此可判断角终边在第三象限(2)解156是第二象限角，sin 1560.为第三象限角，cos 0.450720270是终边落在y轴的非正半轴上的角，cos(450)0.2是第四象限角，tan0.2是第二象限角，sin0.556360196是第三象限角，tan 5560.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆三角函数在各象
9、限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.1已知角的终边过点(3a9，a2)且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是 2a3因为cos 0，sin 0，所以角的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为终边过(3a9，a2)，所以所以2a3.2判断下列各式的符号：(1)sin 145cos(210)；(2)sin 3cos 4tan 5.解(1)145是第二象限角，sin 1450，210360150，210是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.(2)3，4，52，sin 30
10、，cos 40，tan 50，sin 3cos 4tan 50.诱导公式一的应用【例3】求值：(1)tan 405sin 450cos 750；(2)sincostancos.解(1)原式tan(36045)sin(36090)cos(236030)tan 45sin 90cos 3011.(2)原式sincostancossincostancos1.利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k的形式，其中0,2)，kZ.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角的某个三角函数值(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值3化简下列各式：(1)a2sin(1 350)b
11、2tan 4052abcos(1 080)；(2)sincostan 4.解(1)原式a2sin(436090)b2tan(36045)2abcos(3360)a2sin 90b2tan 452abcos 0a2b22ab(ab)2.(2)sincostan 4sincostan 0sin0.1掌握3个知识点(1)三角函数的定义及求法；(2)三角函数在各象限内的符号；(3)公式一2会用2种思想化归与分类讨论(1)负角化为正角、大角化为小角的化归思想(2)角的终边位置上的点的不确定引起的分类讨论3规避2个误区(1)三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关(2)正切函数的定义域为1已知角
12、终边过点P(1，1)，则tan 的值为()A1B1C. DB由三角函数定义知tan 1.2若角是第三象限角，则点P(2，sin )所在象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限D由是第三象限角知，sin 0，因此P(2，sin )在第四象限，故选D.3设角是第三象限角，且sin，则角是第 象限角四角是第三象限角，则角是第二、四象限角，sin，角是第四象限角4在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin ，则sin .设角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角的终边与单位圆相交于点Q(x，y)，由题意知ysin ，所以sin y.5求值：(1)sin 180cos 90tan 0.(2)costan.解(1)sin 180cos 90tan 00000.(2)costancostancostan1.
