1、第2课时数列求和内容标准学科素养1.掌握把非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列解决的方法(分组转化法、裂项相消法).2.掌握数列求和的常用方法错位相减法.3.掌握等差、等比数列及前n项和的综合应用.加强方法归纳提升数学运算灵活综合应用授课提示：对应学生用书第26页基础认识知识点一分组分解求和法思考并完成以下问题求和：123.提示：123(123n)1.知识梳理分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和知识点二奇偶并项求和法思考并完成以下问题求和122232429921002.提示：122232429921002(1222)(3242)(9921002)(1
2、2)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5 050.知识梳理奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论知识点三裂项相消求和法思考并完成以下问题我们知道，试用此公式求和：.提示：由得11(nN)知识梳理如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项裂项相消求和常用公式：(1)；(2)()；(3)；(4).自我检测1数列2n11的前n项和为_解析：设数列2n11的前n项和为Sn，则Sn112122123
3、12n11(12222n1)(111)n2nn1.答案：2nn12数列的前2 019项和为_解析：设数列的前n项和为Sn，an2Sn22，S2 019.答案：3已知数列an则S100_解析：S100a1a2a3a10002244989810022(1249)10041005 000.答案：5 000授课提示：对应学生用书第26页探究一分组转化法求数列的和例1已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解析(1)等比数列bn的公比q3，所以b11，b4b3q27.设等差数列an的公差为d.因为a1b
4、11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1，2，3，)(2)由第(1)问知，an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.方法技巧如果一个数列的通项公式可写成cnanbn的形式，而数列an，bn是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可采用分组转化法求和跟踪探究1.Sn333333_解析：数列3，33，333，的通项公式an(10n1)所以Sn(101)(1021)(10n1)(1010210n)(10n1).答案：(10n1)探究二错位相减法求数列的和例2已知an是等差数列，其前n项和为Sn，
5、bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tna1b1a2b2anbn，nN，证明Tn8an1bn1(nN，n2)解析(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nN.(2)证明：由(1)得Tn22522823(3n1)2n，2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由，得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18，Tn(3n4)2n18Tn8(3n4)2n1.而当n2时，an1bn1
6、(3n4)2n1，所以Tn8an1bn1，nN，n2.方法技巧“错位相减法”求数列前n项和的类型及注意事项(1)类型：如果数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法(2)注意事项：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意；在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式；应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论跟踪探究2.数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN.(1)证明：数列是等
7、差数列；(2)设bn3n，求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)证明：由已知可得1，即1.所以是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)得1(n1)1n，所以ann2.从而bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1n3n1.所以Sn.探究三裂项相消法求数列的和例3求和：，n2，nN.解析.原式(n2，nN)方法技巧对于通项公式是分式的一类数列，在求和时常用“裂项法”可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项常见的拆项公式有：(1).(2)若an为等差数列，公差为d，则.(3).跟踪
8、探究3.求和：，n2，nN.解析：1，原式(n1)以下同例3解法4已知数列an的前n项和是Sn，且Snan1(nN)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog(1Sn1)(nN)，令Tn，求Tn.解析：(1)当n1时，a1S1，由S1a11，得a1，当n2时，Sn1an，Sn11an1，则SnSn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故数列an是以为首项，为公比的等比数列故an2(nN)(2)因为1Snan.所以bnlog(1Sn1)logn1，因为，所以Tn.探究四等差、等比数列及前n项和的综合应用例4已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十
9、四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nN)，Snb1b2bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解析(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.a11，解得(d0舍)，d2.an2n1(nN)(2)bn，Snb1b2bn.假设存在整数t满足Sn总成立，又Sn1Sn0，数列Sn是单调递增的S1为Sn的最小值，故，即t9.又tN，适合条件的t的最大值为8.方法技巧与等差、等比数列有关的综合问题，解题中应注意的方法与技巧(1)转化思想：将非等差(比)数列转化，构造出
10、新的等差(比)数列，以便于利用其公式和性质解题(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系(4)涉及前n项和Sn的，要注意anSnSn1(n2)在an与Sn关系中的应用跟踪探究5.设数列an的首项a11，前n项和Sn满足关系式：3tSn(2t3)Sn13t(t0，n2，3，4，)(1)求证：数列an是等比数列；(2)设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使b11，bnf(n2，3，4，)求数列bn的通项bn；(3)求和：b1b2b2b3b3b4b4b5b2n1b2nb2nb2n1.解析：(1)证明：由a1
11、S11，S21a2，得a2，.又3tSn(2t3)Sn13t，3tSn1(2t3)Sn23t.，得3tan(2t3)an10.，(n2，3，)数列an是一个首项为1，公比为的等比数列(2)由f(t)，得bnfbn1.数列bn是一个首项为1，公差为的等差数列bn1(n1).(3)由bn，可知b2n1和b2n是首项分别为1和，公差均为的等差数列，且b2n，于是b1b2b2b3b3b4b2n1b2nb2nb2n1b2(b1b3)b4(b3b5)b2n(b2n1b2n1)(b2b4b2n)(2n23n).授课提示：对应学生用书第28页课后小结求数列的前n项和，一般有下列几种方法(1)错位相减适用于一个
12、等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(2)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列(3)裂项相消把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(4)奇偶并项当数列通项中出现(1)n或(1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论(5)倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法素养培优忽略等比数列前n项和公式应用的条件致误求数列1，2a，4a2，8a3，的前n项和Sn.易错分析等比数列与等差数列相比，具有更多地特殊性，例如：等比数列中任何一项均不为零，等比数列的求和公式中，要分q1和q1两种情况，分别求解因此当数列中的项含有字母时，要注意分类讨论、本题容易忽视对参数a的讨论而致误、考查分类讨论的学科素养自我纠正(1)当a0时，易得数列的前n项和Sn1.(2)当a0时，数列是公比为2a的等比数列若2a1，即a，这时数列为常数列Snn1n；若2a1，即a，其前n项和Sn，又当a0时，Sn1，适合Sn.故Sn
