1、第5讲古典概型基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1(2014全国卷改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为()A. B. C. D.解析设两本不同的数学书为a1,a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6种,其中数学书相邻的有4种因此2本数学书相邻的概率P.答案C2(2016北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A. B. C. D.解析设另外三名学生分别为丙、丁、戊从5名学生中随机选出2人,有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊)
2、,(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共10种情形,其中甲被选中的有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种情形故甲被选中的概率P.答案B3从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A. B. C. D.解析设正方形的四个顶点分别是A,B,C,D,中心为O,从这5个点中,任取两个点的事件分别为AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,共有10种,其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长,分别是AO,BO,CO,DO,共有4种故所求事件的概率P1.答案C4在集合A2,3中随机
3、取一个元素m,在集合B1,2,3中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2y29内部的概率为()A. B. C. D.解析点P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种情况,只有(2,1),(2,2)这2个点在圆x2y29的内部,所求概率为.答案B5设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2mxn0有实根的概率为()A. B. C. D.解析先后两次出现的点数中有5的情况有:(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4
4、),(5,6),共11种,其中使方程x2mxn0有实根的情况有:(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种故所求事件的概率P.答案C二、填空题6在集合中任取一个元素,所取元素恰好满足方程cos x的概率是_解析基本事件总数为10,满足方程cos x的基本事件数为3,故所求概率为P.答案7(2016四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是_解析从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,
5、2),(8,3),(9,3),(9,8), 共12种取法,其中logab为整数的有(2,8),(3,9)两种,故P.答案8在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是_解析设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共6种其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),共2种,所以P(A).答案三、解答题9(2015山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)
6、从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率解(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有453015人,所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3
7、,B2,A3,B3,A4,B1,A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3,共15个根据题意,这些基本事件的出现是等可能的,事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个因此A1被选中且B1未被选中的概率为P.10在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局),求甲获胜的概率;(2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜,否则乙获胜,这
8、样规定公平吗?解用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个(1)设甲获胜的事件为A,则事件A中包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
9、共10个,则P(A).(2)设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共有10个;则P(B).P(C)1P(B).P(B)P(C),这样规定不公平能力提升题组(建议用时:20分钟)11(2017衡水中学质检)从集合2,3,4,5中随机抽取一个数a,从集合1,3,5中随机抽取一个数b,则向量m(a,b)与向量n(1,1)垂直的概率为()A. B.C. D.解析由题意知,向量m共有4312个,由mn,得mn0,即ab,则满足mn的m有(3,3),(5,5),共
10、2个,故所求概率P.答案A12某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2xy1上的概率为()A. B.C. D.解析先后掷两次骰子的结果共6636种以(x,y)为坐标的点落在直线2xy1上的结果有(1,1),(2,3),(3,5),共3种,故所求概率为.答案A13将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其号码为a,放回后,乙从此口袋中再摸出一个小球,其号码为b,则使不等式a2b40成立的事件发生的概率为_解析由题意知(a,b)的所有
11、可能结果有4416个其中满足a2b40 有(1,3),(1,4),(2,4),(3,4)共4种结果故所求事件的概率P.答案14海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:501,1503,1002.所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为A;B1,B2,B3;C1,C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共15个每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件有B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共4个所以这2件商品来自相同地区的概率P(D).