1、2.2.2.2椭圆简单几何性质的应用目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系及其研究方法，并能利用相关性质解决一些简单的综合问题.2.通过本节课的学习，进一步全面理解椭圆的几何性质，培养综合利用知识灵活解决问题的能力重点 利用直线与椭圆的位置关系解决弦长、中心弦等问题难点 灵活运用椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系解决问题知识点直线与椭圆的位置关系填一填1点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.2直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系判断方法：联立，消y得一个一元二次方程.答一答1直线和椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距离来判断呢？提示：不能因为椭圆不
2、是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等2如何求直线与椭圆相交所得的弦长？提示：(1)将直线方程与椭圆方程联立，得一元二次方程；(2)若A，B两点的坐标易求出，可直接用弦长公式|AB|x1x2|y1y2|求出弦长；若A，B两点坐标不易求出时，可用韦达定理求出x1x2与x1x2的值，代入弦长公式|AB|求出弦长直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切、相离1判断直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后所得关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断0直线和椭圆相交；0直线和椭圆相切；b0)的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|A
3、B|x1x2|y1y2|(k为AB所在直线的斜率)3直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则有x0，y0，又kAB，1，1，得b2(xx)a2(yy)0.可将x1x22x0，y1y22y0以及kAB整体代入，从而求解与弦中点有关的问题(如直线方程、字母的值等).类型一直线与椭圆的位置关系判定【例1】直线ykx1(kR)与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，求m的取值范围【分析】【解】方法1：利用数形结合，直线系ykx1恒过定点(0,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点(0,1)在椭圆内或椭圆上1，即m1，又m0，则有5k
4、21m对kR恒成立，故1m0，即m1，又由m0，即k或k时，直线和曲线有两个公共点；当72k2480，即k或k时，直线和曲线有一个公共点；当72k2480，即kb0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值【思路分析】(1)分别利用离心率和椭圆基本量之间的关系建立方程，求解基本量，得椭圆方程；(2)联立直线与椭圆的方程，消元得二次方程，利用根与系数的关系，结合向量的坐标运算求解【精解详析】(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc
5、，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260，则x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.【解后反思】直线与椭圆的位置关系是高考考查的重点和热点，涉及的知识面较广，题目综合性强，出题角度灵活，有一定的难度多作
6、为解答题的第二问出现解题时应注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数关系等的结合如图所示，椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A、B两点(1)求ABF2的周长；(2)若直线l的倾斜角为45，求ABF2的面积解：(1)ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a4416.(2)由椭圆的方程1知，a4，b3，c.由c知F1(，0)、F2(，0)，又k1tan451，直线l的方程为xy0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x整理，得25y218y810，y1y2，y1y2.|y1y2|，SABF2|F1F2|y1y2
7、|2.1已知点(2,3)在椭圆1上，则下列说法正确的是(D)A点(2,3)在椭圆外 B点(3,2)在椭圆上C点(2，3)在椭圆内 D点(2，3)在椭圆上解析：由椭圆的对称性知点(2，3)也在椭圆上2直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是(C)A. B.C. D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，由得3x24x20.x0，y0x01，中点坐标为.3设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为4.解析：由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2564.4直线yx2与椭圆
8、1有两个公共点，则m的取值范围是(1,3)(3，)解析：由得(m3)x24mxm0.又直线与椭圆有两个公共点，(4m)24m(m3)16m24m212m12m212m0，解得m1或m0且m3，m1且m3.5已知离心率为的椭圆E：1(ab0)经过点A(1，)(1)求椭圆E的方程；(2)若不过点A的直线l：yxm交椭圆E于B，C两点，求ABC面积的最大值解：(1)因为，所以设an，cn，则bn，椭圆E的方程为1.代入点A的坐标得1，n21，所以椭圆E的方程为y21.(2)设点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由 得x22(x2mxm2)2，即x2mxm210，x1x2m，x1x2m21，2m24(m21)0，m22.|BC|，点A到直线l的距离d，ABC的面积S|BC|d，当且仅当m22m2，即m21时等号成立所以当m1时，ABC面积取最大值为.
