1、抛物线焦点弦的性质及应用甘肃省漳县一中 748300 张永鹏 13993279721平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。由于抛物线定义的特殊性,使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征,特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出,同时也高考中经常要考查的内容。据不完全统计,在近几年高考中关于抛物线焦点弦的性质出现在:1、2000年理科的第11题(选择题),2、2001年理科的第19题(解答题),3、2002年文科的第16题(填空题),4、2004年理科的第16题(填空题)设抛物线的方程为y2=2px(P0),过焦点F(,0)作倾斜角为q的直线,交抛物线于P、Q两点,则线段PQ
2、称抛物线的焦点弦,(如图1). 抛物线的焦点弦具有以下性质:性质1:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=-p2. 证明:当q=90时,PQ方程为x=代入y2=2px中有y2=p2,即y1=p,y2=-p,y1y2=-p2.当q90时,设直线PQ斜率为k,则PQ方程为y=k(x)与y2=2px联立,消x后得到:ky2-2py-kp2=0,y1y2=-p2.因为,所以,所以例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证:直线MQ平行与抛物线的对称轴.证明:为了方便比较,可将P点横坐标及Q点纵坐标均用P点的纵坐标y1表示.P(,y1),Q(x
3、2,y2),但y1y2=-p2,y2=,PM方程是:y=x,当x=时,y=即为M点的纵坐标,这样M点与Q点的纵坐标相同,故MQOx.例2(2001年高考 )设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则 . A、 B、- C、3 D、-3解析:设弦的两个端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),x1 x2=, , -,故答案选B。 性质2:抛物线焦点弦的长度: = .证明:如图所示,分别做、垂直于准线,由抛物线定义有 .且有,于是可得, .+=.故命题成立.例3已知圆M:x2+y2-4x=0及一条抛物线,抛物线顶点在O(0,0),焦点是圆M的圆心F,过F作倾斜角为a的直线l,
4、l与抛物线及圆由上而下顺次交于A、B、C、D四点,若a=arcsin,求|AB|+|CD|.解:如图,方程x2+y2-4x=0,表示的图的圆心为(2,0)即为抛物线的焦点,抛物线的方程是y2=8x(其中p=4),|AD|=40,但圆的直径|BC|=4, |AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.性质3:三角形OAB的面积公式:证法一:当直线倾斜角为直角时,公式显然成立。当直线倾斜角不是直角时,设焦点弦所在直线方程:由性质4:以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.证法一:如图3,设PQ中点为R,则R即为PQ为直线圆的圆心,过R作RSMN于S,又设P(x1,y1),Q(x2,
5、y2),|PQ|=|PF|+|QF|=+=+=x1+x2+=x1+x2+p,而R(,),RS=+=,|RS|=|PQ|,RS为圆的半径,命题得证.证法二:由图3知RS为梯形PQNM的中位线,|RS|=(|PM|+|QN|)=|PQ|(利用性质3), RS为圆的半径,故结论成立.性质5:以抛物线y2=2px(p0),焦点弦PQ端点向准线作垂线,垂足分别为M、N,则FMFN.(其中F为焦点).证明:如图4,由抛物线定义知|PF|=|PM|,1=2,而PMOx, 2=3,1=3, 同理4=6,而1+3+4+6=180,3+6=90, FMFN.性质6:设抛物线y2=2px(p0),焦点为F,焦点弦P
6、Q,则+=(定值).证法一:由P、Q向准线作垂线,垂足分别为M、N,作QAOx于A,FBPM于B,准线与Ox交于E,(如图5)由AFQBPF,则,即=,但由定义知|NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|,=,有1=1即+=2,而|EF|=p,代入后即得+=.证法二:由性质的语法二,设|FP|=t1,|FQ|=-t2,而t1+t2=,t1t2=,|t1-t2|=,则+=(t2t10),还有其它证法.例4 2001年理科第11题:过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与QF的长分别是p,q,则等于( )(A)2a (B) (C)4a (D)2004年理科第16题:设是曲线上的一个动
7、点,则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为 .性质7:以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。 证明:如图,设, 则,又, ,即. 性质8:如图,A、O 、B1和B 、O、A1三点分别共线。证明:因为,而, 所以,所以A、O、B1三点共线。同理可证,B、O、A1三点分别共线.例5 2001年理科第19题:设抛物线的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,且BC/x轴,证明直线AC经过原点O对于上述结论,重在考察抛物线的定义、直线方程、根与系数的关系等知识的综合应用,考察数形结合的数学思想,在处理客观题时,可以提高思维起点,迅速求解.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m