1、抛物线焦点弦的性质及应用甘肃省漳县一中 748300 张永鹏 13993279721平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。由于抛物线定义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常要考查的内容。据不完全统计，在近几年高考中关于抛物线焦点弦的性质出现在：1、2000年理科的第11题（选择题），2、2001年理科的第19题（解答题），3、2002年文科的第16题（填空题），4、2004年理科的第16题（填空题）设抛物线的方程为y2=2px(P0),过焦点F(,0)作倾斜角为q的直线，交抛物线于P、Q两点，则线段PQ
2、称抛物线的焦点弦，(如图1). 抛物线的焦点弦具有以下性质:性质1：设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=-p2. 证明：当q=90时，PQ方程为x=代入y2=2px中有y2=p2,即y1=p,y2=-p,y1y2=-p2.当q90时，设直线PQ斜率为k,则PQ方程为y=k(x)与y2=2px联立，消x后得到：ky2-2py-kp2=0,y1y2=-p2.因为，所以，所以例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行与抛物线的对称轴.证明：为了方便比较，可将P点横坐标及Q点纵坐标均用P点的纵坐标y1表示.P(,y1),Q(x
3、2,y2),但y1y2=-p2，y2=,PM方程是：y=x,当x=时,y=即为M点的纵坐标，这样M点与Q点的纵坐标相同，故MQOx.例2（2001年高考 ）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则 . A、 B、- C、3 D、-3解析：设弦的两个端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），x1 x2=， ， -，故答案选B。 性质2：抛物线焦点弦的长度： = .证明：如图所示，分别做、垂直于准线，由抛物线定义有 .且有,于是可得, .+=.故命题成立.例3已知圆M：x2+y2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在O(0,0),焦点是圆M的圆心F，过F作倾斜角为a的直线l,
4、l与抛物线及圆由上而下顺次交于A、B、C、D四点，若a=arcsin,求|AB|+|CD|.解：如图，方程x2+y2-4x=0,表示的图的圆心为(2，0)即为抛物线的焦点，抛物线的方程是y2=8x(其中p=4),|AD|=40,但圆的直径|BC|=4， |AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.性质3：三角形OAB的面积公式：证法一：当直线倾斜角为直角时，公式显然成立。当直线倾斜角不是直角时，设焦点弦所在直线方程：由性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.证法一：如图3，设PQ中点为R，则R即为PQ为直线圆的圆心，过R作RSMN于S，又设P(x1,y1),Q(x2,
5、y2),|PQ|=|PF|+|QF|=+=+=x1+x2+=x1+x2+p,而R(,),RS=+=,|RS|=|PQ|,RS为圆的半径，命题得证.证法二：由图3知RS为梯形PQNM的中位线，|RS|=(|PM|+|QN|)=|PQ|(利用性质3)， RS为圆的半径，故结论成立.性质5：以抛物线y2=2px(p0),焦点弦PQ端点向准线作垂线，垂足分别为M、N，则FMFN.(其中F为焦点).证明：如图4，由抛物线定义知|PF|=|PM|，1=2，而PMOx, 2=3，1=3, 同理4=6，而1+3+4+6=180，3+6=90， FMFN.性质6：设抛物线y2=2px(p0),焦点为F，焦点弦P
6、Q，则+=(定值).证法一：由P、Q向准线作垂线，垂足分别为M、N，作QAOx于A，FBPM于B，准线与Ox交于E，(如图5)由AFQBPF，则,即=,但由定义知|NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|,=,有1=1即+=2,而|EF|=p,代入后即得+=.证法二：由性质的语法二，设|FP|=t1,|FQ|=-t2,而t1+t2=,t1t2=,|t1-t2|=,则+=(t2t10),还有其它证法.例4 2001年理科第11题：过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与QF的长分别是p,q，则等于（ ）（A）2a （B） （C）4a （D）2004年理科第16题：设是曲线上的一个动
7、点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为 .性质7：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。 证明：如图，设， 则，又， ，即. 性质8：如图，A、O 、B1和B 、O、A1三点分别共线。证明：因为，而， 所以，所以A、O、B1三点共线。同理可证，B、O、A1三点分别共线.例5 2001年理科第19题：设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，且BC/x轴，证明直线AC经过原点O对于上述结论，重在考察抛物线的定义、直线方程、根与系数的关系等知识的综合应用，考察数形结合的数学思想，在处理客观题时，可以提高思维起点，迅速求解.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m