1、小题狂练 13万有引力与航天小题狂练 小题是基础练小题提分快1.2019辽宁省沈阳市东北育才学校模拟地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离已知木星公转的轨道半径约5.0天文单位，请估算木星公转的周期约为地球年()A3年 B5年C11年 D25年答案：C解析：根据开普勒第三定律，有：，故T木T地 1年11年，选项A、B、D错误，C正确22019湖南省永州市祁阳一中模拟(多选)在太阳系中有一颗半径为R的行星，若在该行星表面以初速度v0竖直向上抛出一物体，物体上升的最大高度为H，已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比可忽略不计根据这些条
2、件，可以求出的物理量是()A太阳的密度B该行星的第一宇宙速度C该行星绕太阳运行的周期D卫星绕该行星运行的最小周期答案：BD解析：在该星球表面以初速度v0竖直向上抛出一物体，该物体上升的最大高度为H，由v2gH，得：g，根据在该星球表面附近绕该星球做匀速圆周运动的卫星，由重力提供向心力得：mgmm，解得：v，T.星球的第一宇宙速度就是在该星球表面附近绕该星球做匀速圆周运动的线速度，所以该星球的第一宇宙速度v，在行星附近运行的卫星的最小周期就是在该星球表面附近绕该星球做匀速圆周运动的周期，所以最小周期T.故B、D正确因为本题中不知道该星球绕太阳运动的任何量，故不可以计算太阳的密度和该行星绕太阳运动
3、的周期故A、C错误32019宁夏银川一中检测已知地球质量为M，半径为R，地球表面重力加速度为g，有一个类地行星的质量为地球的p倍、半径为地球半径的q倍，该行星绕中心恒星做匀速圆周运动的周期为T，线速度为v，则此类地行星表面的重力加速度和中心恒星的质量分别为()A.g、 B.g、C.g、 D.g、答案：B解析：根据万有引力等于地表物体所受重力Gmg，知g，类地行星的质量为地球的p倍、半径为地球半径的q倍，则gg；根据中心恒星对行星的万有引力提供行星做匀速圆周运动的向心力有Gm行2r，r，又根据上式可得：G，联立解得：M恒，B正确42019云南省玉溪一中摸底有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，
4、在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从球体中挖去一半径为的球体(如图)，然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来的2倍的物质，引力常量为G.则填充后的实心球体对质点m的万有引力为()A. B.C. D.答案：A解析：设球体的密度为，则，在球内部挖去半径为的球体，挖去球体的质量为：m3，挖去球体前，球对质点m的万有引力F1，被挖部分对质点m的引力F2，填充物密度为原来物质的2倍，则填充物对质点m的万有引力为挖去部分的2倍，填充后的实心球体对质点m的万有引力为：F1F22F2，A正确，B、C、D错误52019江苏省淮安、宿迁联考(多选)2017年4月，我国第一艘货运飞船天舟一号顺利升空，
5、随后与天宫二号交会对接假设天舟一号从B点发射经过椭圆轨道运动到天宫二号的圆轨道上完成交会，如图所示已知天宫二号的轨道半径为r，天舟一号沿椭圆轨道运动的周期为T，A、B两点分别为椭圆轨道的远地点和近地点，地球半径为R，引力常量为G.则()A天宫二号的运行速度小于7.9 km/sB天舟一号的发射速度大于11.2 km/sC根据题中信息可以求出地球的质量D天舟一号在A点的速度大于天宫二号的运行速度答案：AC解析：7.9 km/s是近地卫星的环绕速度，卫星越高，线速度越小，则天宫二号的运行速度小于7.9 km/s，选项A正确；11.2 km/s是第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力的最小速度，则天舟一号的
6、发射速度小于11.2 km/s，选项B错误；根据开普勒第三定律知，为常数，已知天宫二号的轨道半径r，天舟一号的周期T以及半长轴(rR)，可求得天宫二号的周期T1，再根据Gmr可求解地球的质量，选项C正确；天舟一号在A点加速才能进入天宫二号所在的轨道，则天舟一号在A点的速度小于天宫二号的运行速度，选项D错误；故选A、C.62019重庆一中模拟(多选)利用探测器探测某行星，先让探测器贴近该星球表面飞行，测得做圆周运动的周期为T1，然后调节探测器距离行星表面的高度，当距离行星表面高度为h时，探测器做圆周运动运行一周的时间为T2，引力常量为G，则下列判断正确的是()A不能求出该行星的质量B能求出该行星
7、的密度C可求出探测器贴近该星球表面飞行时行星对它的引力D可求出该行星的第一宇宙速度答案：BD解析：设该行星的半径为R，当探测器贴近该行星表面飞行时，根据万有引力提供向心力，得GmR，解得M，该行星的密度，B正确；当离行星表面的高度为h时，探测器做圆周运动运行一周的时间为T2，Gm(Rh)，解得M，联立可得出行星半径与行星的质量，A错误；由于不知道探测器的质量，所以不可求出探测器贴近该行星表面飞行时行星对它的引力，故C错误；行星的第一宇宙速度，即在该星球表面的运行速度，v，D正确72019辽宁省沈阳五中模拟如图所示，“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕
8、地球转过的角度为，组合体的轨道半径为r，引力常量为G，不考虑地球自转则()A组合体做圆周运动的线速度为B可求出组合体受到地球的引力C地球的质量为D可求出地球的平均密度答案：C解析：组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为，则角速度，所以vrr，故A错误；因为不知道组合体的质量，所以不能求出组合体受到的引力，故B错误；万有引力提供组合体做圆周运动的向心力，则有m2r，所以M，故C正确；根据，M，但不知道地球的半径，所以无法求出地球的平均密度，故D错误；综上所述本题答案是C.82019湖北省武汉调研如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GT
9、O是地球同步转移轨道已知地球的半径R6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)()A3 h B8 hC15 h D20 h答案：A解析：根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R110 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R242 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R24R1.地球同步卫星的周期为T224 h，运用开普勒第三定律，解得T13 h，选项A正确92019山东师大附中模拟(多选)探月工程三期飞行试验器在中国西昌卫星发射中心发射升空，最终进入距月球表面h的
10、圆形工作轨道已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是()A在飞行试验器的工作轨道处的重力加速度为2gB飞行试验器绕月球运行的周期为2C飞行试验器在工作轨道上的绕行速度为D月球的平均密度为答案：AD解析：根据ma，得a，又GMgR2，则a2g，故A正确；飞行试验器绕月球运动的周期T2，其中GMgR2，得T2，故B错误；根据m，飞行试验器在工作轨道的线速度v，得v，故C错误；根据mg，得月球的质量M，月球的体积VR3，月球的密度M，月球的体积VR3，月球的密度，故D正确；故选A、D.102019湖南省长郡中学考试经过几十万公里的追逐后，神舟十一号飞船于北京时间2
11、016年10月19日凌晨与天宫二号成功实施自动交会对接，如图所示，若神舟十一号飞船与天宫二号均绕地球的中心O做半径为r、逆时针方向的匀速圆周运动，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则()A神舟十一号飞船的线速度大小为rB神舟十一号飞船从图示位置运动到天宫二号所在位置所需的时间为 C神舟十一号飞船要想追上天宫二号，只需向后喷气D神舟十一号飞船要想追上天宫二号，万有引力一定对神舟十一号飞船先做负功后做正功答案：B 解析：设地球质量为M，神舟十一号飞船质量为m，由万有引力提供向心力有Gm，Gm0g，联立解得vR，选项A错误；神舟十一号飞船若向后喷气，则其速度变大，万有引力不足以提供其做圆
12、周运动的向心力，飞船做离心运动，轨道半径变大，环绕速度减小，不可能追上天宫二号，选项C错误；神舟十一号飞船要想追上天宫二号，需要先降低高度(万有引力先做正功)，再向后喷气加速做离心运动(万有引力做负功)，即万有引力对神舟十一号飞船先做正功后做负功，选项D错误由题图可知，神舟十一号飞船位置到天宫二号所在位置的距离sr，由svt解得神舟十一号飞船从题图所示位置运动到天宫二号所在位置所需的时间t，选项B正确112018全国卷为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍P与Q的周期之比约为()A2：1 B4：1C8：1 D1
13、6：1答案：C解析：由开普勒第三定律得k，故，C正确122018全国卷2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”，其自转周期T5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.671011 Nm2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A5109 kg/m3 B51012 kg/m3C51015 kg/m3 D51018 kg/m3答案：C解析：毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据Gm，MR3，得，代入数据解得51015 kg/m3，C正确132019甘肃省张掖一诊地球赤道上的重力加速度
14、为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应变为原来的()A. B. C. D. 答案：B解析：物体在赤道上随地球自转时，有aR；物体随地球自转时，赤道上物体受万有引力和支持力，支持力大小等于重力，即Fmgma，物体“飘”起来时只受万有引力，有Fma，故aga，则有gaR，又2n，解得，故B正确，A、C、D错误142019河南省郑州检测如图所示，A为置于地球赤道上的物体，B为绕地球椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，B、C运行轨道与赤道在同一平面内，P为B、C两卫星轨道的交点，已知A、B、C绕地心运动的周期相同，下列说法正确的是()A卫星
15、B在近地点的速度大于卫星C的速度B卫星B在P点的加速度大于卫星C的加速度C卫星C的运行速度小于物体A的速度D卫星C和物体A具有相同大小的加速度答案：A解析：可以设想一过卫星B近地点的圆周运动轨道，由万有引力提供向心力，有Gm，可得线速度与半径的关系：v，由此可知轨道半径r越大，线速度v越小显然卫星在该轨道上做匀速圆周运动的速度大于在轨道C上做匀速圆周运动的速度卫星若以该轨道上的点作为近地点做椭圆轨道运动，必须进行加速，也就是说，卫星B在近地点的速度大于卫星C的速度，所以选项A正确由Gma，可知，加速度a，只与该点到地心的距离有关，所以卫星B在P点的加速度等于卫星C的加速度，选项B错误由于A、B
16、、C绕地球运动的周期相同，所以卫星C为地球同步卫星，与A绕地球运动的角速度相等，由线速度与角速度关系式可知vr，而物体A，rAR(地球半径)，卫星C，rCRh，可知卫星C的运行速度大于物体A的速度，选项C错误物体A的向心加速度aA2R，卫星C的向心加速度aC2(Rh)，显然二者不等，选项D错误152019河南省南阳一中检测如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0.某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为()A. B.C. D.答案：C解析：由开普勒第三定律得：，由TA
17、T0得TB，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，nBnA，联立解得：t，故选项C正确162019湖北省部分重点中学联考1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文三体问题中指出：两个质量相差悬殊的天体(如太阳和地球)所在的平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球引力的作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动人们称这些点为拉格朗日点若发射一颗卫星定位于拉格朗日点L2，进行深空探测，下列说法正确的是()A该卫星绕太阳运动的向心加速度小于地球绕太阳运动的向心加速度B该卫星绕太阳运动的周期和地球公转周期相等C该卫星
18、在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小D该卫星在L1处所受到地球和太阳的引力的大小相等答案：B解析：向心加速度a2r，该卫星和地球绕太阳做匀速圆周运动的角速度相等，而轨道半径大于地球公转半径，则该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，A错误；据题意知，卫星与地球同步绕太阳做圆周运动，周期相同，即该卫星绕太阳运动的周期和地球公转周期相等，B正确；该卫星在L2处和L1处的角速度大小相等，但在L2处半径大，根据Fm2r可知，该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处大，C错误；该卫星在L1点环绕太阳做圆周运动，则该卫星受到地球和太阳的引力的合力指向太阳，因此该卫星受到
19、太阳的引力大于地球的引力，D错误课时测评 综合提能力课时练赢高分一、选择题12018北京卷若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证()A地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602B月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602C自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6D苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60答案：B解析：若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律万有引力定律，则应满足Gma，即加速度a与距离r的平方成反比，由题中数据知，选项B正确，其余选项错误2201
20、9四川省五校联考(多选)假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则下列有关这艘飞船的说法中，正确的是()A飞船在轨道上运动时的机械能小于在轨道上运动时的机械能B飞船绕火星在轨道上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以同样的轨道半径运动的周期相同C飞船在轨道上运动到P点时的加速度大于飞船在轨道上运动到P点时的加速度D飞船在轨道上运动时，经过P点时的速率大于经过Q点时的速率答案：AD解析：飞船在轨道上经过P点时，要点火加速，使其速度增大做离心运动，才能沿轨道运动，所以飞船在轨道上运动时的机械能小于在轨道上运动时的机械能，A正确；根据Gmr，
21、得周期T2，虽然r相等，但是由于地球和火星的质量不等，所以周期不相等，B错误；飞船在轨道上运动到P点时与飞船在轨道上运动到P点时受到的万有引力相等，根据牛顿第二定律可知加速度相等，C错误；根据开普勒第二定律可知，飞船在轨道上运动时，经过P点时的速率大于经过Q点时的速率，D正确32019河北省保定定州中学监测为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧测力计称量一个质量为m的砝码读数为N.已知引力常量为G.则下列计算中正确的是()A该行星的第一宇宙速度为B该行星的密度为C该行星的质量为D该行星的半径为答案：A解析：登陆舱在该行星表面
22、做圆周运动，万有引力提供向心力，故：mR，在星球表面，用弹簧测力计称量一个质量为m的砝码读数为N，故：N，联立解得：M，R，选项C、D错误；第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度，故v，选项A正确；行星的密度，选项B错误42019重庆月考(多选)下列说法正确的是()A关于公式k中的常量k，它是一个与中心天体有关的常量B开普勒定律只适用于太阳系，对其他恒星系不适用C已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离D发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略答案：AC解析：公式k中的k是一个与中心天体有关的常量，选项A正确；开普勒定律
23、不仅适用于太阳系，对其他恒星系也适用，选项B错误；已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，由k可知金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离，选项C正确；发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是牛顿和卡文迪许，选项D错误52019福建厦门模拟据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括4颗海洋水色卫星，2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测设海陆雷达卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是海洋动力环境卫星的n倍，下列说法正确的是()A在相等的时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等
24、B在相等的时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积之比为：1C海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星线速度之比为：1D海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星向心加速度之比为n2：1答案：B解析：根据mr2，解得，扫过的面积Slrr2r2tt，因为轨道半径之比为n，则角速度之比为1：，相等的时间内扫过的面积之比为：1，故B正确，A错误；根据m，解得v，因为轨道半径之比为n：1，则线速度之比为1：，故C错误；根据Gma，解得a，因为轨道半径之比为n：1，则向心加速度之比为1：n2，故D错误62019辽宁省实验中学质检设地球是一质量分布均匀的球体，O为地心已知质量分布均匀的
25、球壳对壳内物体的引力为零在下列四个图中，能正确描述x轴上各点的重力加速度g的分布情况的是()答案：A解析：设地球的密度为，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有mg，即g，由于地球的质量MR3，所以地球表面重力加速度的表达式可写成g.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为Rx处，物体受到地球的万有引力即为半径等于x的球体在其表面产生的万有引力，gx，即当xR时，g，g与x平方成反比，故A正确72019陕西省部分学校模拟(多选)我国的“天链一号”是地球同步轨道卫星，可为载人航天器及中低轨道卫星提供数据通讯如图为“天链一号”a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球三者的位置
26、关系示意图，O为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为1和2(2图中未标出)，卫星a的轨道半径是b的4倍已知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入与卫星a通讯的盲区卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略，下列分析正确的是()A张角1和2满足sin24sin1B卫星b的周期为C卫星b每次在盲区运行的时间为TD卫星b每次在盲区运行的时间为T答案：BC解析：设地球半径为r0，由题意可知sin，sin，ra4rb，解得sin4sin，选项A错误；由，TaT，ra4rb，可知Tb，选项B正确；由题意可知，图中A、B两点为盲区的两临界点，由数学知识可
27、得AOB12，因而212，解得tT，选项C正确，D错误82018全国卷(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波，根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A质量之积 B质量之和C速率之和 D各自的自转角速度答案：BC解析：由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T s，两中子星的角速度均为，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、
28、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：Gm12r1、Gm22r2，又r1r2L400 km，解得m1m2，A错误，B正确；又由v1r1、v2r2，则v1v2(r1r2)L，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误92019吉林长春调研2016年2月12日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半
29、径之差为r(a星的轨道半径大于b星的轨道半径)，则()Ab星的周期为TBa星的线速度大小为Ca、b两颗星的半径之比为Da、b两颗星的质量之比为答案：B解析：a、b两颗星是围绕同一点运行的双星系统，故周期T相同，选项A错误；由rarbr，rarbl，得ra，rb，所以，选项C错误；a星的线速度v，选项B正确；由ma2ramb2rb，得，选项D错误102019辽宁葫芦岛六校联考某卫星在半径为r的轨道1上做圆周运动，动能为Ek，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了E，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为()A. r B. rC. r D. r答案：A解析：根据公式Gm，Ekmv2，联立解得卫
30、星在轨道1上的动能为EkG，根据题意可知在轨道2上的动能为mvGE，根据Gm，解得r1 r，A正确二、非选择题112019山东省潍坊模拟如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧引力常量为G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.981024 kg和7.351
31、022 kg.求T2的平方与T1的平方的比值(结果保留3位小数)答案：(1)2(2)1.012解析：(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A、B的中心和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，设A、B圆周运动的轨道半径分别为r、R，因此有m2rM2R，rRL联立解得R L，r L对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得Gm L化简得T2(2)将地月系统看成双星系统，由(1)得T12 将月球的运动看成绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GmL化简得T22 所以T2平方与T1平方的比值为21.012122019河北张家口一中等联考2
32、016年1月5日上午，国防科工局正式发布国际天文学联合会批准的“嫦娥三号”探测器着陆点周边区域命名为“广寒宫”，附近三个撞击坑分别命名为“紫微”、“天市”、“太微”此次成功命名，使以中国元素命名的月球地理实体达到22个已知地球半径为R，表面重力加速度为g，质量为m的“嫦娥三号”卫星在地球上空的引力势能为Ep(以无穷远处引力势能为零)，r表示物体到地心的距离求：(1)质量为m的“嫦娥三号”卫星以速度v在某一圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，求此时卫星距地球地面高度h1；(2)可使“嫦娥三号”卫星上升，从离地高度h1(此问可以认为h1为已知量)的轨道上升到h1h的轨道上做匀速圆周运动，卫星发动机至少要做的功W为多少？答案：(1)R(2)解析：(1)设地球质量为M，引力常量为G，卫星距地面高度为h1时速度为v，对卫星有Gm，对地面上的物体有m0gG，解得h1R.(2)卫星在距地面高度h1的轨道上做匀速圆周运动，有Gm，此时卫星的动能Ek1mv2，引力势能Ep1，卫星在距地面高度h1时的总机械能E1Ek1Ep1，同理，卫星在距地面高度h1h时的总机械能E2，由功能关系可知卫星发动机至少要做功WE2E1.
