1、20202021学年度上学期高二年级期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解分式不等式得集合，解绝对值不等式得集合，再由交集定义求解【详解】，因此，.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查解分式不等式和绝对值不等式，属于基础题2. 设复数z满足，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简得到，故，得到答案.【详解】，则，故，虚部为.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计
2、算能力和转化能力.3. 在正项等比数列中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比中项的性质求得的值，进而可求得的值.【详解】在正项等比数列中，由等比中项的性质可得，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查了等比中项性质应用，考查计算能力.属于较易题.4. 当，方程表示的轨迹不可能是（ ）A. 两条直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】B【解析】【分析】分、三种情况讨论，分别判断出三种情况下方程所表示的曲线，进而可得出合适的选项.【详解】当时，方程表示的曲线为椭圆；当时，方程为，即，方程表示两条直线；当时，方程表示的曲线为双曲线.综上所述，当，方程表示的轨迹不可能
3、是圆.故选：B.【点睛】本题考查方程所表示的曲线形状的判断，考查推理能力与分类讨论思想的应用，属于基础题.5. 已知，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由， ，可判断得选项.【详解】因为，又，所以，故选：A.【点睛】本题考查指对幂比较大小，常常将指对幂化成同底数、同指数、同真数，属于中档题.6. 在平行四边形中，若交于点M，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形相似的性质结合向量的运算，即可得出答案.【详解】，为线段靠近点的四等分点显然，即故选：B【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.7. 设p：实数满足，q：实数满足，则p是q的
4、（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分类讨论求出集合，结合充分性、必要性的定义进行求解即可【详解】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.，当时，；当时，；当，因为，所以充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了一元二次方程的解法，考查了对数不等式的解法，考查了数学运算能力.8. 已知函数是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，则经变形后得，进而得到在时单增，结合单调性证出是定义在上的偶函数，再去
5、“f”，即可求解【详解】令，当时，即函数单调递增又，时，是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数不等式，即，即，又，故，由得不等式的解集是故选：C【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如的式子，先构造函数，再设法证明的奇偶性与增减性，进而去“f”解不等式二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】直接计算各向量的坐标，根据向量平行、垂直、相等的概念进行验证即可.【详解】因为向量，所以，故
6、A错误；向量，故B正确；，故C错误；，所以，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行，垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.10. 某院校教师情况如下表所示类别老年中年青年年度男女男女男女201612060240120100402017210403202002001202018300150400270320280关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是（ ）A. 2017年男教师最多B. 该校教师最多的是2018年C. 2017年中年男教师比2016年多80人D. 2016年到2018年，该校青年年龄段的男教师人数增长
7、率为220%【答案】BCD【解析】【分析】根据表格的信息进行数据分析，统计各年男教师人数，教师人数即可得答案；【详解】对A，2018年男教师最多1020，故A错误；对B，2018年教师有1190最多，故B正确；对C，2017年中年男教师320，2016年中年男教师240，故C正确；对D，该校青年年龄段的男教师人数增长率为，故D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查统计的应用，考查数据处理能力，属于基础题.11. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为、，下列结论正确的是（ ）A. 的离心率为B. 的渐近线方程为C. 动点到两条渐近线的距离之积为定值D. 当动点在双曲线左支上时，的最大值为【
8、答案】AC【解析】【分析】根据双曲线的方程求出、的值，可求得双曲线的离心率和渐近线方程，可判断A、B选项的正误；设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合双曲线的方程可判断C选项的正误；利用双曲线的定义和基本不等式可判断D选项的正误.【详解】对于双曲线，所以，双曲线的离心率为，渐近线方程为，A选项正确，B选项错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为和，则点到两条渐近线的距离之积为，C选项正确；当动点在双曲线的左支上时，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查双曲线的离心率、渐近线方程的求解，同时也考查了双曲线几何性质和定义的应用，考查计算能力，
9、属于中等题.12. 华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，.已知定义在R上不恒为0的函数，对任意有：且满足，则（ ）A. B. C. 是偶函数D. 是奇函数【答案】AD【解析】【分析】创新题型，利用新知识矩阵定义求出，再赋值可得解【详解】，令,则，令,则， 令,则，令,则，故选：AD【点睛】利用奇偶性解题的类型及方法(1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足或偶函数满足列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据列式求解，若不能确定则不可用此
10、法三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知直线是曲线的一条切线，则_.【答案】4【解析】【分析】设切点为，根据导数的几何意义可求斜率，即可求出，代入切线方程即可求解.【详解】设，切点为，因为，所以，解得，所以，故切点为，又切点在切线上，故.故答案为：4【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于容易题.14. 已知，则_【答案】【解析】【分析】先化简已知得到，再结合同角的平方关系求出，再利用二倍角的余弦公式求解.【详解】因为，所以，即.所以.所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解
11、掌握水平.15. 已知抛物线的焦点是F，点M是其准线l上一点，线段交抛物线C于点N.当时，的面积是_【答案】【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，因为，可得在，之间，设垂直于准线交于，由抛物线的性质可得，可得，求出直线的方程，代入抛物线的方程求出的横坐标，进而求出的面积【详解】由题意抛物线的标准方程为：，所以焦点，准线方程为，设垂直于准线交于，如图，由抛物线的性质可得，因为，可得在，之间，所以，所以，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程可得：，解得或（舍），所以，故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于
12、中档题16. 已知球O是正三棱锥的外接球，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_.【答案】【解析】【分析】本题首先可以根据题意绘出图像，然后设出三棱锥的外接球半径为以及正三角形的外接圆圆心为，再然后根据正三角形的性质和得出、以及，最后根据当截面与垂直时截面圆的面积有最小值并通过计算即可得出结果.【详解】如图，设三棱锥的外接球半径为R，正三角形的外接圆圆心为，因为，三角形是正三角形，为正三角形的外接圆圆心，所以，因为，所以，解得，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值，在中，故，截面面积，故答案为：.【点睛】本题考查
13、空间几何体的外接球，考查正三角形的相关性质以及勾股定理的应用，考查空间想象能力，考查推理能力，是难题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 下面给出有关的四个论断：；或；.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若_，则_（用序号表示）并给出证明过程：【答案】见解析【解析】【分析】首先选取3个条件做题设，剩下的一个条件为结论，进一步利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果.【详解】方案一：如果，则；证明：由得，得，即；由，得，且，得； 由或，不仿取，联立，得，； 余弦定理：，得，成立；方案二：如果，则；证明：由
14、得，得，即；由，得，且，得； 由，且，得；从而，；得或，得或，成立； 方案三：如果，则；证明：由，得，由或，不仿取，得，即；由，且，得，从而；同时，得，得或，当时，得，由余弦定理得：，且，得，即；即，成立；当时，得，由余弦定理得：，且，得，即不成立；即不成立，不成立；方案四：如果，则；证明：由得，得，即；由，且，得；由或，不妨取，代入，即，得，；从而得，成立；【点睛】本题主要考查了三角形知识的应用，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查了运算能力和转化能力及思维推理能力，属于中档题.18. 已知数列为“二阶等差数列”，即当时，数列为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大
15、值【答案】（1）；（2）157【解析】【分析】（1）根据定义求出，从而可得公差，再得后可得通项；（2）由采取累加法可求得，结合二次函数性质可得最大值详解】（1）由定义知：，；得，；设数列的公差为d，即得，数列的通项公式为；（2）由于：，累加可得：，由于二次函数在时取得最大值，所以数列得最大值为.【点睛】本题考查数列新定义“二阶等差数列”，解题关键是理解新定义，问题转化为等差数列是解题关键19. 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第，组中用分层抽样的方法抽取名
16、志愿者参广场的宣传活动，应从第，组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.【答案】（1）分别抽取人，人，人；（2）【解析】【分析】（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.【详解】（1）第组的人数为， 第组的人数为， 第组的人数为，因为第，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组: ；第组: ；第组: .所以应从第，组中
17、分别抽取人，人，人. （2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.记第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有:，共有种. 其中第组的志愿者被抽中的有种， 答：第组的志愿者有被抽中的概率为【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.20. 在四棱柱中，已知底面为等腰梯形，分别是棱，的中点.（1）证明：直线平面；（2）若平面，且，求经过点，的平面与平面所成二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接与交于点，可证明与平行且相等，得平行四边形后得平行线，从而得线面平行；（2）在平面图形中证明，然后
18、为轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，用空间向量法求二面角的余弦的绝对值，即可得正弦值【详解】（1）连接，与交于点，因为底面为等腰梯形，是中点，所以和都是菱形，所以，所以是平行四边形，即，平面，平面，所以平面（2）因为和都是菱形，所以，所以，又平面，以为轴建立空间直角坐标系，则，所以，又，所以，由得，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面的一个法向量为，则，取，则，设所求二面角为，则，【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求二面角的大小，立体几何中求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）常常用空间向量法求解，为此必须建立空间直角坐标系，得出各点坐标21. 已知椭
19、圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1（1）求榷圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为证明：为定值【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆的几何性质，求得直线AB的方程， 根据点到直线的距离公式和三角形OAB的面积为1，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，结合斜率公式，化简得，代入即可求解.【详解】（1）由椭圆右顶点为，上顶点为，可得直线AB的方程为，即， 则点O到直线AB的距离，即， 因为三角形OAB的面积为1，所
20、以，即， 由，可解得， 所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）可得，所以直线AB的斜率为，设直线的方程为，联立方程组，整理得则，所以， 所以，所以，即为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22. 已知函数，（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间内单调递增，求a的取值范围；（3）若存在单调递减区间，求a的取值范围【答案】（1）的增区间是，减区间是；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由解析式确定，令、求x的范围，即可知单调区间；（2）由在内单调递增，则在上恒成立，令，即，进而求参数范围；（3）由存在单调递减区间，则在有解，可求参数范围.【详解】（1）当时，且定义域为，即，若，得；若，得，的增区间是，减区间是（2）由题意知：在内恒成立，则恒成立，令，则即可，而在内的最小值为（3）依题意，在区间内有解，即在区间内有解，而对称轴为且开口向上，必有，即【点睛】关键点点睛：（1）利用导数研究函数的单调区间即可；（2）由在区间内单调增，即在区间内恒成立，求参数值；（3）由在定义域内存在减区间，即在定义域内有解，求参数值；
