1、3.1.1倾斜角与斜率一、选择题1下列四个命题中，正确的命题共有()坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；直线的倾斜角的取值范围是0，180；若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为；若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan.A0个 B1个C2个 D3个答案A解析序号正误理由、倾斜角为90时，斜率不存在，故、不正确倾斜角的范围是0，180)，故不正确虽然直线的斜率为tan，但只有当0，180)时，才是直线的倾斜角，故不正确2已知点A(1,2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为()A(0,3) B(0，1)C(3,0) D(1,0)答案C解析由题意可设P
2、的坐标为(m,0)，则tan1351，解得m3.3若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()A30 B60C30或150 D60或120答案D解析如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60或120.4直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为()A1 BC D答案B解析tan，0180，30，260，ktan2.故选B5如下图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3 Bk3k1k2Ck3k2k1 Dk1k390230，所以k10k3k2.6已知点A(1,3)，B(2，1)若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的
3、斜率k的取值范围是()Ak Bk2Ck或k2 D2k答案D解析过点P(2,1)的直线可以看作绕P(2,1)进行旋转运动，通过画图可求得k的取值范围由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图若l与线段AB相交，则kPAkkPB，kPA2，kPB，2k.点评确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素是：一个点P和一个倾斜角，二者缺一不可本题过点P(2,1)的直线的位置是不确定的，用运动变化的观点看问题是数形结合的技巧二、填空题7求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角是0，还是锐角、钝角或直角(1)C(18,8)，D(4，4)，斜率为_，倾斜角为_；(2)C(1,2)，D(3,2)，斜率为_，倾斜角
4、为_；(3)C(0，)，D(，0)(ab0)斜率为_，倾斜角为_.答案(1)锐角(2)00(3)钝角8设P为x轴上的一点，A(3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为_.答案(5,0)解析设P(x,0)为满足题意的点，则kPA，kPB，于是2，解得x5.三、解答题9在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：(1)直线l1过原点，斜率为1；(2)直线l2过点(3,0)，斜率为；(3)直线l3过点(3,0)，斜率为；(4)直线l4过点(3,1)斜率不存在解析10如右图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上已知BOD60，求菱形各边和两条对角线所在
5、直线的倾斜角及斜率分析解析因为ODBC，BOD60，所以直线OD，BC的斜率角都是60，斜率kODkBCtan60.因为OB与x轴重合，DCOB，所以直线OB，DC的倾斜角都是0，斜率kOBkDCtan00.由菱形的性质，知COD30，OBD60，所以直线OC的倾斜角为30，斜率kOCtan30；直线BD的倾斜角为DBx18060120，斜率kBDtan120.规律总结：解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时，要善于利用几何图形的几何性质，解题时要注意倾斜角是几何图形中的夹角还是它的邻补角；也可以利用经过两点的直线的斜率公式，先求斜率，再求倾斜角能力提升一、选择题1设直线l过坐标原点，它
6、的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135答案D分析画出图象辅助理解，由于条件中未指明的范围，所以需综合考虑的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在0，180)内解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D规律总结：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论2
7、经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()Am1 Bm1C1m1 Dm1或m1答案C解析设直线l的倾斜角为，则kABtan0.1m20，解得1m1.3已知A(1,21)，B(1,1)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为()A1 BC D不存在答案B解析kAB，直线AB的倾斜角为60，则直线l的倾斜角为30.其斜率ktan30.4若直线l的斜率为k，倾斜角为，若60135，则k的取值范围是()A(1，)B(，1)(，)C1，D(，1，)答案B解析当6090时，斜率的取值范围是(，)；当90135时，斜率的取值范围是(，1)，故选B点评求
8、斜率的范围时，应把倾斜角的范围分成两部分，即090和90180.二、填空题5已知直线l1的斜率为，若直线l2和l1关于y轴对称，则直线l2的斜率为_；若直线l2和l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为_.答案6若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则_.答案解析由于点A，B，C共线，则kABkAC，所以.所以ab3a3b.即.三、解答题7直线l的斜率为k1m2(mR)，求直线l的倾斜角的取值范围解析k1m21，所以当k0,1时，倾斜角0，；当k(，0)时，倾斜角(，)，故倾斜角的范围是0，(，)8已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有
9、公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围分析结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90时，有kkPB；当l的倾斜角大于90时，则有kkPA解析如图，由题意可知，直线PA的斜率kPA1，直线PB的斜率kPB1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1，或k1.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45，直线PA的倾斜角是135，故的取值范围是45135.点评这里要注意斜率k的范围不是1k1，因为直线l经过的区域包含与x轴垂直的直线本题一般是设想直线l绕点P旋转，考查这时直线l的倾斜角和斜率的变化规律，通过对l的斜率的变化规律的分析，不难发现kPA与kPB是两个关键的数据
