1、压轴题增分练(一)(时间：30分钟满分：24分)1(12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围规范解答及评分标准(1)设焦距为2c(c0)由题意，得e，2b2.a2b2c2，b1，a2.椭圆C的标准方程为y21.(4分)(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)联立得方程组消去y并整理，得(4k21)x28kmx4m240.x1x2，x1x2.由题意，知(8km)24(4k21)(4m24)0.化简，得m24k21.(6分)若kOMkON，则，即4
2、y1y25x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0.化简，得m2k2.(9分)由，得0m2，k2.(10分)原点O到直线l的距离d，d21.又k2，0d2，0d.故原点O到直线l的距离的取值范围是.(12分)2(12分)已知函数f(x)2lnx(aR，a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x12e.规范解答及评分标准(1)由题意，得f(x)(x0)当a0时，f(x)0时，f(x)，当x(0
3、，)时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增(4分)(2)证明：由(1)知，当a0时，函数f(x)有最小值，且f(x)minf()1lna.依题意得1lnae.(6分)由ae2，得f(x)2lnx(x0)，x1(0，e)，x2(e，)由f(2e)22ln20及f(x2)0，得x22e，只要证x12ex2.f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)0，只要证明f(2ex2)0即可(8分)由f(x2)2lnx20，得x2e2lnx2.f(2ex2)2ln(2ex2)2ln(2ex2)2ln(2ex2)42lnx22ln(2ex2)，x2(e,2e)(10分)令g(t)42lnt2ln(2et)，t(e,2e)，则g(t)0，g(t)在(e,2e)上单调递增，g(t)g(e)0，即f(2ex2)0.综上可知，x1x22e.(12分)
