1、公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷二2020.9一、填空题：1复数(2)ii的虚部为2设函数2log,0()4,0 xxxf xx，则(1)ff 3直线 1l：10 x 和直线 2l：30 xy的夹角大小是4我国古代庄周所著的庄子 天下篇中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去若把“一尺之棰”的长度记为 1 个单位，则第 n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为na，则na 5已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角 的终边与单位圆的交点坐标
2、是3 45 5，则sin 2 6已知,x yR，且21xy，则 x y的最大值为7已知圆锥的母线10l，母线与旋转轴的夹角30 ，则圆锥的表面积为8若21(2)(*)nxnNx的二项展开式中的第 9 项是常数项，则 n 9已知对于任意给定的正实数k，函数()22xxf xk的图像都关于直线 xm成轴对称图形，则 m 10如图，一矩形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上，另两个顶点CD、在函数2(),01xf xxx的图像上，则此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是11已知点 P 在双曲线221916xy上，点 A 满足(1)PAtOP()t R，且60OA OP，(0,1)OB，则
3、 OB OA 的最大值为12已知 AB 为单位圆 O 的一条弦，P 为单位圆 O 上的点若()fAPAB()R 的最小值为 m，当点 P 在单位圆上运动时，m 的最大值为 43，则线段 AB 的长度为公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！二、选择题：13下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是AtanyxB3xy C13yxDlgyx14设,a bR，则“21abab”是“1a 且1b ”的A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件16实数 a、b 满足0ab 且 ab，由 a、b、2ab、ab 按一定顺序构成的数列A可能是等差数列，也可能是等比数列B
4、可能是等差数列，但不可能是等比数列C不可能是筹差数列，但可能是等比数列D不可能是等差数列，也不可能是等比数列16设等比数列na的公比为 q，其前 n 项之积为nT，并且满足条件：11a ，201920201aa，20192020101aa，给出下列结论：01q；2019202110aa；2019T是数列 nT中的最大项；使1nT 成立的最大自然数等于 4039，其中正确结论的序号为（）（A）（B）（C）（D）三、解答题：17.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.如图所示，在四棱锥ABCDP 中，底面 ABCD是矩形，PA底 面 ABCD，E 是
5、PC 的 中 点，已 知2AB，22AD，2PA求：（1）三角形 PCD的面积；（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分.在一个特定时段内，以点 D 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域点 D 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B 处，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45（其中26sin26，090 ）且与点 A 相距
6、10 13 海里的位置 C 处（1）求该船的行驶速度（单位：海里小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分.设12()2xxaf xb（,a b 为实常数）（1）当1ab 时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求 a 与 b 的值；公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！20.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6分.已知焦点在 x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点
7、的距离和为10，椭圆C 经过点163,5（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线 1l，直线 1l 上存在 MN、两点满足OMON，求OMN 面积的最小值；（3）若与 x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于 AB、两点，交 x 轴于定点 M，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，且 ABMN为定值，求点 M 的坐标21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 8 分.已知数列na,nb满足 2(2)nnnSab，其中nS 是数列na的前 n 项和（1）若数列na是首项为 23，公
8、比为13的等比数列，求数列 nb的通项公式；（2）若nbn，23a，求证：数列na满足212nnnaaa，并写出数列na的通项公式；（3）在(2)的条件下，设nnnacb，求证：数列 nc中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！参考答案：一、填空题：1、2；2、-2；3、6；4、12nna；5、2425；6、18；7、75；8、12；9、21 log2mk；10、max4V；11、8；12、4 23.二、选择题：13、C；14、B；15、B；16、B；三、解答题：17、解：（1）因为在四棱锥ABCDP 中，底面 ABCD是矩形，PA底面 AB
9、CD，所以,DCAD DCPA，所以 DCPD又22AD，2PA，所以在 Rt APD中2 3PD，在Rt PDC中12,2 32 2 32 32PCDCDPDS 即三角形 PCD的面积为 2 3（2）建立如图的空间直角坐标系Oxyz，由题意可得(0,0,0)A,(0,0,2)P,(2,2 2,0)C,(2,0,0)B,(1,2,1)E,所以(0,2 2,0)BC，(1,2,1)AE，设 BC与 AE所成角为，则2 222cos2|2 22AE BCAEBC，所以异面直线 BC 与 AE 所成角的大小为 4 18、解：(1)因为090 ，26sin26，所以25 26cos1 sin26.2
10、分由余弦定理，得222cos10 5BCABACAB AC，.5 分所以船的行驶速度为10 515 523（海里/小时）.6 分（2）如 图 所 示，以 A 为 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，设 点 BC，的 坐 标 分 别 是公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！1122 B xyC xy（，），（，），由题意，得11cos4540sin 4540 xAByAB .8 分22cos(45)30sin(45)20 xACyAC.10 分所以直线 BC 的方程为 2400 xy.12 分因为点055E（，）到直线 BC 的距离0022|3 57axbycdab所以船会进
11、入警戒水域.14 分19、解：（1）证明：511212)1(2f，412121)1(f，所以)1()1(ff，所以)(xf不是奇函数.3 分（2）)(xf是奇函数时，)()(xfxf，即babaxxxx112222对定义域内任意实数 x 都成立即0)2(2)42(2)2(2baabbaxx，对 定 义 域 内 任 意 实 数 x 都 成立.5 分所以042,02abba所以21ba或21ba经检验都符合题意.8 分20、解：（1）由题意可设椭圆方程为：22221(0)xyabab因为椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，所以 2105aa，又椭圆经过点163,5，4b 即椭圆的标准方程为：2
12、212516xy（2）因为 F 3,0，设3,3,MNMyNy、，又OMON，公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！所以90MNOM ONyy ABC 的面积：1393922ABCMNMMSyyyy（3）设直线l 方程：ykxm，则点,0mMk22222(2516)5025400012516ykxmkxkmxmxy21212225025400,25162516kmmxxxxkk 222240 251612516kmABkk则 AB 的中点 P的坐标为2222525,25162516kmk mmkk，又 PMAB，得1PNkk 则直线 PN 的方程为：22225125()251625
13、16k mkmymxkkk，得 N 点坐标322525,02516k mkmmkk则292516kmmMNkk 222225251659252121ABkkmkmMNmkmk当且仅当229mk时，比值为定值，此时3,0M 21、（1）解：因为数列na是首项为 23，公比为13的等比数列所以121()33nna，11()32nnS.3 分所以2122nnnSba.4 分公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！（2）若nbn，则 2(2)nnSan，所以112(1)(2)nnSna所以112(1)2nnnanana，即1(1)2nnnana.5 分所以212(1)nnnana所以211(1)(1)nnnnnananana所以212nnnaaa.7 分又由1122Sa，得：12a.8 分所以数列na是首项为 2 公差为 1 的等差数列所以1nan.10 分（3）证明：由（2）知1nncn，对于给定的*nN，若存在 ktn，且*tk N，使得nktccc，只需111nktnkt.12 分只需(1)n ktkn.14 分取1kn，则(2)tn n.16 分所以对于数列 nc中的任意一项1nncn，都存在121nncn与2(2)2212n nnncnn，使得1(2)nn nnccc，即数列 nc中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.18 分