1、专题2函数与导数第2讲综合大题部分1已知a为实数，函数f(x)aln xx24x.(1)是否存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值？证明你的结论；(2)设g(x)(a2)x，若x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围解析：(1)函数f(x)定义域为(0，)，f(x)2x4.假设存在实数a，使f(x)在x1处取极值，则f(1)0，a2，此时，f(x)，当x0时，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，x1不是f(x)的极值点故不存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值(2)由f(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax2x0，记F(x)xln x(x0)，F(x)(x0
2、)，当0x1时，F(x)0，F(x)单调递减；当x1时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)F(1)10，a，记G(x)，x，G(x).x，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x时，G(x)0，G(x)单调递减；x(1，e)时，G(x)0，G(x)单调递增，G(x)minG(1)1，aG(x)min1.故实数a的取值范围为.2(2018厦门质检)已知函数f(x)(ax2xa)ex(aR)(1)若a0，函数f(x)的极大值为，求实数a的值；(2)若对任意的a0，f(x)bln(x1)在x0，)上恒成立，求实数b的取值范围解析：(1)由题意，f(x)(2ax1)ex(ax2xa)ex
3、exax2(12a)xa1ex(x1)(ax1a)当a0时，f(x)ex(x1)，令f(x)0，得x1；f(x)1，所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以f(x)的极大值为f(1)，不合题意当a0时，10，得1x1；f(x)0，得x1，所以f(x)在(1，1)上单调递增，在(，1)，(1，)上单调递减所以f(x)的极大值为f(1)，得a1.综上所述，a1.(2)令g(a)ex(x2x)axex，a(，0，当x0，)时，ex(x2x)0，则g(a)bln(x1)对a(，0恒成立等价于g(a)g(0)bln(x1)，即xexbln(x1)，对x0，)恒成立当b0时，x(0，)，
4、bln(x1)0，此时xexbln(x1)，不合题意当b0时，令h(x)bln(x1)xex，x0，)，则h(x)(exxex)，其中(x1)ex0，x0，)，令p(x)bexx21，x0，)，则h(x)在区间0，)上单调递增，ab1时，p(x)p(0)b10，所以对x0，)，h(x)0，从而h(x)在0，)上单调递增，所以对x0，)，h(x)h(0)0，即不等式bln(x1)xex在0，)上恒成立b0b1时，由p(0)b10及p(x)在区间0，)上单调递增，所以存在唯一的x0(0,1)使得p(x0)0，且x(0，x0)时，p(x0)0.从而x(0，x0)时，h(x)0，所以h(x)在区间(0
5、，x0)上单调递减，则x(0，x0)时，h(x)h(0)0，即bln(x1)0且关于x的方程f(x)m有两个解x1，x2(x12a.解析：(1)易知x0，f(x)，若a0，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在(a，)上单调递增若a0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增若a0，当x(0，2a)时，f(x)0，函数f(x)在(2a，)上单调递增综上，当a0时，函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，2a)上单调递减，在(2a，)上单调递增(2)证明：设F(x)f(x)f(2ax)a2ln xa2l
6、n(2ax)a2ln(2ax)ln x2ax2a2(0x0,0xa，F(x)F(a)a2ln 2a22a20，所以，当0x0，即f(x)f(2ax)由(1)知a0时，函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增所以0x1aa.所以f(x2)f(x1)f(2ax1)，所以x22ax1，所以x1x22a.4(2018高考北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解析：(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x(，2)时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(，)
