1、大题速练手不生(10)时间：75分钟满分：70分17(12分)已知数列an的前n项和为Sn，且是首项和公差均为的等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn解：(1)是首项和公差均为的等差数列，(n1)，Snn1时，a1S11；n2时，anSnSn1n.n1时也成立ann(2)bn2，数列bn的前n项和Tn2n2n18(12分)2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下(不含90分)则被淘汰现有2 000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间30,
2、50)，50,70)，70,90)，90,110)，110,130)，130,150分段，其频率分布直方图如下图所示(频率分布直方图有污损)，但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在50,110)的人数为1 440(1)根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；(2)若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题答对3题者方可参加复赛已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响若他连续三次答题中答对一次的概率为，求面试者甲答题个数X的分布列和数学期望解：(1)设竞聘者成绩在区间30,50)，90,110)，110,130)的人数分别为x，y
3、，z，则(0.017 00.014 0)202 000x2 000500，解得x260，(0.017 00.014 0)202 000y1 440，解得y200，0003 2202 000200z500，解得z172，竞聘者参加笔试的平均成绩为：(26040200100172120)(0.014600.017800.003 2140)2078.48(分)(2)设面试者甲每道题答对的概率为p，则Cp(1p)2，解得p，面试者甲答题个数X的可能取值为3,4,5，则P(X3)33，P(X4)C3C2，P(X5)1P(X3)P(X4)1，X的分布列为：X345PE(X)34519(12分)如图，在四棱
4、锥PABCD中，已知PB底面ABCD，BCAB，ADBC，ABAD2，CDPD，异面直线PA与CD所成角等于60(1)求证：平面PCD平面PBD；(2)求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由(1)证明：PB底面ABCD，PBCD，又CDPD，PDPBP，PD，PB平面PBD，CD平面PBD，CD平面PCD，平面PCD平面PBD(2)解：如图，以B为原点，BA、BC、BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由(1)知BCD是等腰直角三角形，BC4，设BPb(b
5、0)，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)，则(2,0，b)，(2，2,0)，异面直线PA、CD所成角为60，cos 60，解得b2，(0,2,0)，(2,0，2)，设平面PAD的一个法向量为n(x，y，z)，则，取x1，得n(1,0,1)，设直线CD和平面PAD所成角为，则sin |cos，n|，直线CD和平面PAD所成角的正弦值为(3)假设棱PA上存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为，设(01)，且E(x，y，z)，则(x，y，z2)(2,0，2)，E(2，0,22)，设平面DEB的一个法向量为m(a，b，c)，
6、(2，0,22)，(2,2,0)，则，取a1，得m(1,1，)，平面PAB的法向量p(0,1,0)，平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为，平面PAB与平面BDE所成锐二面角的余弦值为，|cosm，p|，解得或2(舍)，在棱PA上存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为，E为棱PA上靠近A的三等分点20(12分)如图，已知椭圆1(ab0)的左右顶点分别是A(，0)，B(，0)，离心率为.设点P(a，t)(t0)，连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O(1)证明：OPBC；(2)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求|t|的最小值(1)证明：由题意可知：a，e，
7、则b1，椭圆的标准方程：y21，设直线PA的方程 y(x)，则，整理得：(4t2)x22t2x2t280，解得：x1，x2，则C点坐标，故直线BC的斜率kBC，直线OP的斜率kOP，kBCkOP1，OPBC；(2)解：由(1)可知：四边形OBPC的面积S1|OP|BC|，则三角形ABC的面积S22，由，整理得：t224，则|t|，|t|min，|t|的最小值21(12分)已知函数f(x)2x(x1)ln x，g(x)xln xa x21(1)求证：对x(1，)，f(x)2；(2)若方程g(x)0有两个根，设两根分别为x1、x2，求证：1证明：(1)f(x)2x(x1)ln x，f(x)1ln
8、x，令h(x)1ln x，h(x)0，在(1，)恒成立，h(x)在(1，)单调递减，h(x)h(1)1ln 110，f(x)在(1，)单调递减，f(x)f(1)2，对x(1，)，f(x)2(2)由g(x)xln xax210，得ln xax，于是有ln x1ax1，ln x2ax2，两式相加得ln x1x2a(x1x2)，两式相减得ln a(x2x1)，由可得a，将代入可得，ln x1x2(x1x2)，即ln x1x22ln ，不妨设0x1x2，t1，则ln ln t，由(1)可得 ln t2，ln x1x222，ln x1x22ln x1x22ln ，2ln 2，ln 1，即1以下两题请任选
9、一题：选修44：坐标系与参数方程22(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos242sin24，直线l过曲线C的左焦点F(1)直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|；(2)设曲线C的内接矩形的周长为c，求c的最大值解：(1)曲线C：y21，F(，0)，曲线C与直线联立得13t22t10，方程两根为t1，t2，则AB2|t1t2|(2)设矩形的第一象限的顶点为(2cos ，sin )，所以c4(2cos sin )4sin()，所以当sin()1时，c最大值为4选修45：不等式证明选讲23(10分)已知函数f(x)，x，且f(x)t恒成立(1)求实数t的最大值；(2)当t取最大时，求不等式|2x1|6的解集解：(1)因为f(x)，x，且f(x)t恒成立，所以只需tf(x)min，又因为f(x)(sin2xcos2x)1313225，所以t25，即t的最大值为25(2)t的最大值为25时原式变为|x5|2x1|6，当x时，可得3x46，解得x；当x5时，可得3x46，无解；当5x时，可得x66，可得0x；综上可得，原不等式的解集是
