1、课时跟踪检测（十九） 立体几何1.(2018届高三广西五校联考)如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求证：BD平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.ACAEA，BD平面ACFE.(2)以O为坐标原点，的方向为x轴，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设CFa，则B(0，0)，D(0，0)，E(1,0,2)，F(1，0
2、，a)(a0)，(1,0，a)设平面BED的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则n(2,0,1)，由题意得sin 45|cos，n|，解得a3或a.由a0，得a3，(1,0,3)，(1，2)，cos，故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.2.(2017合肥模拟)如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12.(1)若M为CD中点，求证：AM平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值解：(1)证明：连接AC，四边形ABCD为菱形，BAD120，ACD为等边三角形，又M为CD中点，AMCD，由
3、CDAB得，AMAB.AA1底面ABCD，AM平面ABCD，AMAA1.又ABAA1A，AM平面AA1B1B.(2)四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12，DM1，AM，AMDBAM90，又AA1底面ABCD，以A为坐标原点，AB，AM，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1，0)，D1，(3，0)，(2,0，2)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则n(1，1)，|cosn，|.直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值为.3.(2018届高三洛阳四校调研)如图，四边形ABEF
4、和四边形ABCD均是直角梯形，FABDAB90，二面角FABD是直二面角，BEAF，BCAD，AFABBC2，AD1.(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值解：(1)证明：由已知得，BEAF，BE平面AFD，AF平面AFD，BE平面AFD.同理可得，BC平面AFD.又BEBCB，平面BCE平面AFD.设平面DFC平面BCEl，则l过点C.平面BCE平面ADF，平面DFC平面BCEl，平面DFC平面AFDDF，DFl，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DFl.(2)平面ABEF平面ABCD，平面ABCD平面ABEFAB，FA平面
5、ABEF，又FAB90，AFAB，AF平面ABCD.AD平面ABCD，AFAD.DAB90，ADAB.以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，D(1,0,0)，C(2，2,0)，F(0,0,2)，(1,0,2)，(1,2,0)设平面DFC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则n(2，1,1)，不妨取平面ACD的一个法向量为m(0,0,1)，cosm，n，由于二面角FCDA为锐角，因此二面角FCDA的余弦值为.4(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，
6、E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90，得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，所以四边形BCEF是平行四边形，CEBF，又CE平面PAB，BF平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y
7、，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.由图知二面角MABD为锐角，因此二面角MABD的余弦值为.5(2017开封模拟)如图，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，ADCDAB2.将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图所示(1)证明：平面ABD平面BCD；(
8、2)求二面角DABC的余弦值解：(1)证明：易知ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD，ADBC.又ADCD，BCCDC，AD平面BCD，AD平面ABD，平面ABD平面BCD.(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0,0)，A(2，0,0)，D(，0，)，B(0,2，0)，(，0，)，(2，2，0)设平面ABD的法向量m(x，y，z)则即令x1，得y1，z1，所以平面ABD的一个法向量m(1,1,1)易知平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，cosm，n，由图知，二面角DABC为锐角，二面角DABC的余弦值为
9、.6.(2018届高三湖北五校联考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，由ADCD2，BC4，可得ABAC4，所以BC2AB2AC2，所以BAC90，即ABAC，因为PA平面ABCD，所以PAAB，又PAACA，所以AB平面PAC，所以ABPC.(2)存在，理由如下：取BC的中点E，则AEBC，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0,2)，B(2，2，0)，(0,2，2)，(2，2，0)设t (0t1)，则点M的坐标为(0,2t，22t)，所以(0,2t,22t)设平面MAC的法向量是n(x，y，z)，则即令x1，得y1，z，则n.又m(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，所以|cosm，n|，解得t，即点M是线段PD的中点此时平面MAC的一个法向量n(1，1，)，又(2，3，1)设BM与平面MAC所成的角为，则sin |cosn，|.故BM与平面MAC所成角的正弦值为.
