1、小题对点练(五)立体几何(1)(建议用时：40分钟)一、选择题1如图2，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则()图2A. MNPDB. MNPAC. MNAD D. 以上均有可能B因为MN平面PAD，平面PAC平面PADPA，MN平面PAC，所以MNPA.故选B.2(2018成都模拟)一个棱锥的三视图如图3所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是()图3A. B1 C. D.D由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，PAD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，由四棱锥的直观图可知，
2、四棱锥侧面中最大侧面是PBC，PBPC，BC1，面积是1.3设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A若l，则l B若l，则lC若l，则l D若l，则lB若l，则l或l，故A错误；若l，由平面平行的性质，我们可得l，故B正确；若l，则l或l，故C错误；若l，则l或l或l，故D错误；故选B.4在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，则点A1到平面AB1D1的距离是()A1 B. C. D2B设点A1到平面AB1D1的距离为h，因为VA1AB1D1VAA1B1D1，所以SAB1D1hSA1B1D1AA1，所以h，故选B.5(2018大庆实验中学模拟)四棱锥PABCD的
3、三视图如图4所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上， E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为()图4A. 12 B. 24 C. 36 D. 48A四棱锥PABCD中PA面ABCD，且ABCD为正方形，球心为PC中点，因为PAABa，PCa2R，所以R22()2R22()2R23，S4R212，选A.6祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等已知某不规则几何体与如图5所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()图5A. B. C3 D6B由
4、祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个三棱锥，其直观图如下图：其底面是底和高分别为5，的三角形，高为，则该三棱锥的体积为V5，从而该不规则几何体的体积为.7已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且AB2，AC4，BC2，三棱锥OABC的体积为， 则球O的表面积为()A. 22 B. C. 24 D. 36DABC中，AB2，AC4，BC2，由勾股定理可知斜边BC中点O就是ABC的外接圆的圆心，三棱锥OABC的体积为，24OO，OO2，球的半径R3，所以球O的表面积为4R24936.故选D.8已知在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD，
5、则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有()A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对C因为ABCD是矩形，PA平面ABCD，所以PABC，PACD，ABPD，BDPA，ADPB.共5对9某几何体的三视图如图6所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则()图6A3A B5AC2A D4AD由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF平面ABCD，AFDE，AF2，DE4，可求得BE的长为4，BF的长为2，EF的长为2，EC的长为4，故选D.10在四棱锥PABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点若异面直线PA
6、与BE所成的角为45，则该四棱锥的体积是()A4 B2 C. D.D连接AC和BD相交于点O，连接OE(图略)，则OEPA，则OEB45，又EOB90，则BOOE1，底面正方形的边长为，四棱锥的高为，则体积为()2，故选D.11如图7，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：图7EPAC；EPBD；EP平面SBD；EP平面SAC，其中恒成立的为()A BC DA如图所示，设AC、BD相交于点O，连接SO，EM，EN.对于，由SABCD是正四棱锥，可得SO底面ABCD，ACBD，AC平面ABCD，SOAC.SOBDO，AC平面SBD，
7、E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而EMMNM，SDBDD，SD，BD平面SBD，MN，EM平面EMN，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，EP平面EMN，ACEP.故正确对于，易知EP与BD是异面直线，因此不正确对于，由可知平面EMN平面SBD，EP平面EMN，EP平面SBD，因此正确对于，由同理可得EM平面SAC，若EP平面SAC，则EPEM，与EPEME相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即不正确故选A.12如图8，在ABC中，ABBC，ABC90，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD，若
8、该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()图8A. 7 B. 5 C. 3 D. A依题意可得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD平面PCD，设三棱锥PBDC外接球的球心为O，PCD外接圆的圆心为O1，则OO1平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD，O1D1，及OBOD，可得OB，则外接球的半径R.所以该球的表面积S球4R27.二、填空题13某三棱锥的三视图如图9所示，则该三棱锥的全面积是_图942三棱锥的直观图如图所示：由三视图可知PO平面ABC，OC平面PAB，且OPOC2，OBOA1，PAPB，ACBC，PC2，SPABSCAB2，SPACSPBC，全面积
9、为42.14如图10所示，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a(L)水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(如图10所示)有下列四个命题：正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；图10图10任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；若往容器内再注入a(L)水，则容器恰好能装满其中真命题是_易知所盛水的体积为容器容积的一半，故正确，于是错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故正确；的错误可这样推出：将图中容器的位置向右边倾斜一些，可推知点P将露出水面15如图11，三棱柱ABC
10、A1B1C1的各条棱长都是，且顶点A1在底面ABC上的射影O为ABC的中心，则三棱锥A1ABC的体积为_图11由题意可知，底面三角形ABC为正三角形，由O为ABC的中心，可知O为ABC的外心，则OA为底面高的，底面三角形的边长为，底面三角形的高为，OA，在RtA1AO中，由A1A，OA，得OA1，三棱锥A1ABC的体积为.16将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC, 在正方形ABCD中，ACBDO有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与CD所成的角为90，取BC中点E，则AEO为二面角ABCD的平面角其中正确结论是_(写出所有正确结论的序号)如图所示，取BD中点E，则AEBD，CEBD，所以BD平面AEC，从而可得ACBD，故正确；设正方形ABCD边长为1，则AEEC，所以AC1，又因为ADCD1，所以ACD是等边三角形，故正确；分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN，则MNAB，且MN，MECD，且ME，则EMN是异面直线AB，CD所成的角在RtAEC中，AECE，AC1，NE.则MEN是正三角形，故EMN60，错误；图图如图所示，由题意可得：ABAC，则AEBC，由BEEC，BOOD，BCCD可得OEBC，据此可知：AEO为二面角ABCD的平面角，说法正确
