1、第五章数列5.4数列的应用课后篇巩固提升基础达标练1.(2020郑州高三二模)南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为()注:12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)6A.1 624B.1 024C.1 198D.1 560解析依题意,an:1,4,8,14,23,36,54,两两作差,得bn:3,4,6,9,13,
2、18,两两作差,得cn:1,2,3,4,5,设该数列为an,令bn=an+1-an,设bn的前n项和为Bn,又令cn=bn+1-bn,设cn的前n项和为Cn.易知cn=n,Cn=n2+n2,进而得bn+1=3+Cn=3+n2+n2,所以bn=3+n(n-1)2=n22-12n+3,则Bn=n(n+1)(n-1)6+3n,所以an+1=1+Bn,所以a19=1024.答案B2.(2019山东高三期中)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定
3、理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个数中,能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an,则此数列所有项中,中间项的值为()A.992B.1 022C.1 007D.1 037解析将题目转化为an-2既是3的倍数,也是5的倍数,也就是15的倍数.即an-2=15(n-1),an=15n-13.当n=135,a135=15135-13=20122019,故n=1,2,135,数列共有135项.因此数列中间项为第68项,a68=1568-13=1007.故答案为C.答案C3.(202
4、0江西安福中学高一月考)某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于2018年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长每年的偿还金额是()A.amB.ap(1+p)m+1(1+p)m+1-1C.ap(1+p)m+1pm-1D.ap(1+p)m(1+p)m-1解析设每年偿还的金额为x,则a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+x(1+p)m-1,所以a(1+p)m=x1-(1+p)m1-(1+p),解得x=
5、ap(1+p)m(1+p)m-1.故选D.答案D4.(2019兰州第二中学高二期中)我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何.”翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则几天后两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为1 200尺,则需要多少天时间才能打穿(结果取整数)()A.12B.11C.10D.9解析大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列an,bn,它们都是等比数列,a1=b1=1
6、,数列an的公比为q1=2,数列bn的公比为q2=12,设需要n天能打穿墙,则(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=1-2n1-2+1-(12)n1-12=2n+1-12n-1,当n=10时,2n+1-12n-1=1025-12910251200,因此需要11天才能打穿.故选B.答案B5.假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服,且每次能洗去污垢的34,那么至少要清洗次才能使存留的污垢在1%以下.解析设每次用a升清水漂洗一件衣服,洗涤次数为n,通过题意可知,存留的污垢y是以14a为首项,14为公比的等比数列,所以有y=14na,由题意,可知14na1%a,得nlog4100=log210,得
7、n4,所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在1%以下.答案46.(2020上海华师大二附中高三月考)如图,一个粒子从原点出发,在第一象限和两坐标轴正半轴上运动,在第一秒时它从原点运动到点(0,1),接着它按图所示在x轴、y轴的垂直方向上来回运动,且每秒移动一个单位长度,那么,在2 018秒时,这个粒子所处的位置在点.解析如图,设粒子运动到A1,A2,An时所用的时间分别为a1,a2,an,则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,an-an-1=2n,将a2-a1=22,a3-a2=23,a4-a3=24,an-an-1=2n相加得an-a1=2(2+3+4+n)=n2+n-2,则an=n(
8、n+1),由4445=1980,得运动了1980秒时它到点A44(44,44),又由运动规律知,A1,A2,An中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动,故粒子到达A44(44,44)时,向左运动38秒即运动了2018秒,到达点(6,44),则所求点应为(6,44).答案(6,44)7.(2019上海格致中学高三开学考试)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创,南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有菱草垛、方垛、三角垛等.某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”,自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件,已知第一层货物单价1万元,从第二层起
9、,货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100-200910n万元,则n的值为.解析由题意,可得第n层的货物的价格为an=n910n-1,设这堆货物总价是Sn=19100+29101+39102+n910n-1,由910可得910Sn=19101+29102+39103+n910n,由-,可得110Sn=1+9101+9102+9103+910n-1-n910n=1-(910)n1-910-n910n=10-(10+n)910n,Sn=100-10(10+n)910n.这堆货物总价是100-200910n万元,n=10.答案108.(2020山东高二期末)沿海某市为了进一步完善海防生
10、态防护体系,林业部门计划在沿海新建防护林3万亩,从2020年开始,每年春季在规划的区域内植树造林,第一年植树1 200亩,以后每一年比上一年多植树400亩,假设所植树木全部成活.(1)到哪一年春季新建防护林计划全部完成?(2)若每亩新植树苗的木材量为2立方米,且所植树木每一年从春季开始生长,到年底停止生长时木材量的年自然增长率为10%,到新建防护林计划全部完成的那一年底,新建防护林的木材总量为多少立方米?(参考数据:1.1113)解(1)设第n年春季植树为an亩,由题意,可知a1=1200,an+1-an=400=d(常数),所以an为等差数列.设植树n年新建防护林计划全部完成,则1200n+
11、n(n-1)2400=30000,化简得n2+5n-150=0,所以n=10.2020+10-1=2029,所以到2029年新建防护林计划全部完成.(2)设从2020年开始,第n年年底种植树木到2029年底的木材量为数列bn,则b10=a1021.1,b9=a921.12,b1=a121.110.则木材总量S=b1+b2+b10=2(1.1a10+1.12a9+1.110a1),1.1S=2(1.12a10+1.13a9+1.111a1),所以0.1S=2-1.1a10+d(1.12+1.13+1.110)+a11.111=2-1.14800+4001.12-1.1111-1.1+12001.
12、11110960,解得S=109600,所以到2029年底新建防护林的木材总量约为109600立方米.能力提升练1.在超市中购买一个卷筒纸,其内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆,令=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为()A.17 mB.16 mC.15 mD.14 m解析纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列dn,则纸的长度为l=d1+d2+d3+d60,其中d1+d2+d3+d60=d1+d60260=480,则l=d1+d2+d3+d60=480=4803.14=1507.215(m).故选C.答案C2.调查表明,酒后驾驶是导致交通
13、事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小,他至少要经过几小时才可以驾驶机动车(精确到小时)()A.1小时B.2小时C.4小时D.6小时解析设n个小时后才可以驾车,根据题意,可知每小时酒精下降的量成等比数列,公比为50%,进而可得方程0.3(1-50%)n0.02,得12n115,即n4,所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车.故选C.答案C3.(2019安徽安庆一中高一期中)根据市场调查,预测某种日用品从年初开始的n个月
14、内累计的需求量Sn(单位:万件)大约是Sn=n27(21n-n2-5)(n=1,2,12).据此预测,本年度内,需求量超过5万件的月份是()A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月解析日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位:万件)大约是Sn=n27(21n-n2-5)(n=1,2,12),则第n(n2)个月的需求量为an=Sn-Sn-1=-3n2+45n-27275,得3n2-45n+2760,即n2-15n+540,解得6nBn,即40n5n2+5n2,解得0nCn,即40n12(2n-1),解得0n10,故当0nCn;当10n15,AnCn,故当能闯过的关数小于1
15、0时,应选择方案一;当能闯过的关数大于等于10时,应选择方案三.小明应该选择方案三.素养培优练黄河被称为我国的母亲河,黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色.黄河的水源来自青藏高原,上游的1 000 公里的河水是非常清澈的,只是中游流经黄土高原,又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,泾渭分明,形成了一条奇特的水中分界线.设黄河和洮河在汛期的水流量均为2 000 m3/s,黄河水的含沙量为2 kg/m3,洮河水的含沙量为20 kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,
16、两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1 000 m3的水量,即从洮河流入黄河1 000 m3的水混合后,又从黄河流入1 000 m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)解(1)用an,bn分别表示河流在经过第n个观测点时,洮河水和黄河水的含沙量,则a1=20,b1=2.由题意可知,b2=1000a1+2000b12000+1000=13a1+23b1=8,a2=1000b2+1000a12000=12a1+12b2=14,即经过第二个观测点时
17、,洮河水的含沙量为14kg/m3,黄河水的含沙量为8kg/m3.(2)由题意,可知bn=1000an-1+2000bn-12000+1000=13an-1+23bn-1(n2,nN+),an=1000bn+1000an-12000=12an-1+12bn=23an-1+13bn-1(n2,nN+),河水中含沙量之差可考虑数列an-bn,由上式可知,an-bn=13(an-1-bn-1)(n2,nN+),a1-b1=18,所以数列an-bn是以18为首项,13为公比的等比数列,则an-bn=1813n-1,令1813n-11800,n8,即从第8个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3.
