1、第三章单元质量评估(一)一、选择题(每小题5分,共60分)1下列试验中是古典概型的是(C)A任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件 B在数轴上12之间任取一点x,观察x是否小于0C抛一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面的情况 D某人射击中靶或不中靶解析:A中尽管点数之和只有有限个取值:2,3,12,但它们不是等可能的;B中试验的基本事件有无数个;D中“中靶”“不中靶”不一定是等可能发生的因此,A,B,D都不是古典概型故选C.2已知某厂的产品合格率为0.8,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是(D)A合格产品少于8件 B合格产品多于8件C合格产品正好是8件 D合格产品可能是8件解析:
2、某厂的产品合格率为0.8,现抽出10件产品检查,由概率的性质得:合格产品可能是8件3从装有两个红球和两个白球的口袋中任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是(D)A“至少有一个白球”与“都是白球” B“至少有一个白球”与“至少有一个红球”C“至少有一个白球”与“都是红球” D“恰有一个白球”与“恰有两个白球”解析:A选项错,事件“至少有一个白球”包含事件“都是白球”,则两事件不互斥,也不对立;B选项错,事件“至少有一个白球”与“至少有一个红球”的交事件为“一个白球和一个红球”,从而两事件不互斥,也不对立;C选项错,事件“至少有一个白球”与“都是红球”互斥且对立易知D选项正确4某产品分甲、乙、丙
3、三级,其中乙、丙两级均属次品在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽验一只是正品(甲级品)的概率为(A)A0.92 B0.95 C0.97 D0.08解析:记事件A:“生产的产品为甲级品”,B:“生产的产品为乙级品”,C:“生产的产品为丙级品”,则P(B)0.05,P(C)0.03,且事件A,B,C两两互斥,P(ABC)P(A)P(B)P(C)1,所以P(A)0.92,选A.5打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i0,1,2,3.那么AA1A2A3表示(B)A全部击中 B至少击中1发 C至少击中2发 D以上均不正确解析:A1A2A3所表示的含义是A1、A2、A3这三
4、个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发,故选B.6已知直线yxb的横截距在2,3内,则该直线在y轴上的截距b大于1的概率是(A)A. B. C. D.解析:由题意可知b3,2,则根据几何概型的概率公式得,该直线在y轴上的截距b大于1的概率为.7在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出两个小球,则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是(C)A. B. C. D.解析:取两个小球的不同取法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,
5、其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3),(2,4),(3,5),(1,5),共4种,故所求的概率为.8含甲、乙在内的4个人站成一排照相,甲在乙右边的概率为(C)A. B. C. D.解析:方法1:设这4人分别为甲、乙、丙、丁,则他们站成一排的所有基本事件为(甲、乙、丙、丁),(甲、乙、丁、丙),(甲、丙、乙、丁),(甲、丙、丁、乙),(甲、丁、乙、丙),(甲、丁、丙、乙),(丁、甲、乙、丙),(丁、甲、丙、乙),(丁、乙、甲、丙),(丁、乙、丙、甲),(丁、丙、甲、乙),(丁、丙、乙、甲),共24个其中事件甲在乙右边的基本事件数为12,故所求概率为.方法2:整体法考虑,4个人站成一排
6、照相,分甲在乙右边、甲在乙左边两个基本事件,从而甲在乙右边的概率为,故选C.9袋中有6个除颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球,从袋中任取2球,则2球的颜色为一白一黑的概率为(B)A. B. C. D.解析:从袋中任取2球共15种取法,2球的颜色为一白一黑的情况共6种,故所求概率为.10已知集合Ax|2x2x30,Bx|ylg,在区间(3,3)上任取一实数x,则xAB的概率为(C)A. B. C. D.解析:由2x2x30,得1x0,得0,3x1.ABx|1x1,根据几何概型的概率计算公式易知所求概率为.11设集合A1,2,B1,2,3,分别从集合A和B中随机取一个数a和b,
7、确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线xyn上”为事件Cn(2n5,nN),若事件Cn的概率最大,则n的值为(B)A2 B3或4 C4 D5解析:点P的所有可能坐标为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共6个,其中点(1,1)在直线xy2上,点(1,2),(2,1)在直线xy3上,点(1,3),(2,2)在直线xy4上,点(2,3)在直线xy5上,故P(C2),P(C3),P(C4),P(C5).故选B.12小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学已知在这段时间内,共有3班公交车到达该站,到站的时间分别为7:1
8、0,7:20,7:30,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为(A)A. B. C. D.解析:设小赵到达公交站的时间为x,小王到达公交站的时间为y,则小赵和小王两人到达公交站的时刻(x,y)所对应的区域为如图所示的平面直角坐标系中面积最大的正方形,他们搭乘同一班公交车所对应的区域为图中的阴影部分,故所求概率为.二、填空题(每小题5分,共20分)13一枚质地均匀的硬币连掷两次,只有一次出现正面的概率为.解析:所有结果为“正正”“正反”“反正”“反反”共四种,故所求概率为.14小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于
9、,则周末去看电影,若此点到圆心的距离小于,则去打篮球,否则在家看书,则小波周末不在家看书的概率为.解析:方法1:由题意知所求概率为.方法2:由题意知所求概率为1.15在数字1,2,3,4这4个数中,任取2个不同的数,其和大于积的概率是.解析:在数字1,2,3,4这4个数中任取2个不同的数有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6个基本事件,其中和大于积的有3个,即1,2,1,3,1,4,故其和大于积的概率是.16某商场在国庆期间进行购物换购活动:单次购物满108元直接换购,不满108元通过转盘(如图)来决定是否有换购资格规定当转盘指针指向区域A或B(包括边界)时即获得换购资格已知区域
10、A的弧长为,区域B的弧长为(R为转盘半径),则某顾客单次购物不满108元获得换购资格的概率为.解析:由已知得,又指针指向A,B区域不可能同时发生,故该顾客获得换购资格的概率为.三、解答题(本题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题10分)某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:射击次数n102050100200500击中靶心的频数m8194492178455击中靶心的频率(1)在表中填写击中靶心的频率;(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?解:(1)表中各个频率依次是0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由(1)可
11、知,这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.90.18(本小题12分)在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AMAC的概率解:如图,在AB上取ACAC,则ACC67.5.设事件A:“在ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,AMAC”,是所有可能结果的区域角度为90,事件A的区域角度为67.5,所以P(A).19(本小题12分)有两个大小相同、质地均匀的正四面体玩具,每个玩具的各个面上分别写着数字1,2,3,5,同时投掷这两个玩具一次,记n为两个朝下的面上的数字之和(1)求事件“n不大于6”的概率;(2)事件“n为奇数”的概率和事件“n为
12、偶数”的概率是不是相等?说明理由解:因为玩具质地是均匀的,所以玩具各个面朝下的可能性相等,所有可能出现的情况共16种:(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5)(1)事件“n大于6”包含(2,5),(3,5),(5,2),(5,3),(5,5),共5个基本事件,所以所求概率为1.(2)事件“n为奇数”的概率和事件“n为偶数”的概率不相等易知事件“n为奇数”的概率为,则事件“n为偶数”的概率为1,所以这两个事件的概率不相等20(本小题12分)海关对同
13、时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是501,1503,1002.所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为A,B1,B2,B3,C1,C2.则抽取的这2件商品
14、构成的所有基本事件为A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共15个每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件有B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共4个所以P(D),即这2件商品来自相同地区的概率为.21(本小题12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3张,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,
15、c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率解:(1)由题意知,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种设“抽
16、取的卡片上的数字满足abc”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种所以P(A).因此,“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种所以P(B)1P()1.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.22(本小题12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组90,100),100,110),140,150)后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在12
17、0,130)内的频率;(2)用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段120,130)内的概率解:(1)分数在120,130)内的频率为1(0.10.150.150.250.05)10.70.3.(2)由题意知,110,120)分数段的人数为600.159,120,130)分数段的人数为600.318.用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,则需在110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m,n,在120,130)分数段内抽取4人,并分别记为a,b,c,d.设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段120,130)内”为事件A.易知基本事件有(m,n),(m,a),(m,d),(n,a),(n,d),(a,b),(c,d),共15种事件A包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d),共9种故P(A).