1、第1.1.3节 集合的基本运算某地对所在地的居民中拥有电视机、电冰箱、组合音响的情况进行一次抽样调查，调查结果：3户特困户三种全无；至少有一种的：电视机1090户，电冰箱747户，组合音响850户；至少有两种的：电视机、组合音响570户，组合音响、电冰箱420户，电视机、电冰箱520户，“三大件”都有的265户.可是调查组在统计上述数字时发现没有记下被调查的居民总户数，你能避免重新调查而解决这个问题吗？研习教材重难点研习点1. 并集与交集1并集（重点）定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与集合B的并集（union set）,记作（读作“并”），即，或从定
2、义可以看出两个集合的并集还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.（1）理解并集定义中“或”字的意义：或包括如下三种情况：但；但；且.由集合A中元素的互异性可知，集合A与B的公共元素在中只出现一次，因此是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.例如：，则，而不是并集用韦氏图（venn）表示为:由并集的定义及韦氏图不难看出，并集具有以下性质：（吸收律）；（交换律）；(结合律).【探究发现】 并集与子集之间的关系 由并集的韦氏图表示不难发现，如果集合A是集合B的子集即，就意味着；同相关可以分析，如果集合B是集合A的子集即，就意味着；如果且，则典例1.（1）设
3、集合，求；（2）设集合，求.【研析】（1）；（2）在研究集合的运算时，我们还经常利用数轴工具表示集合之间的运算关系.从数轴上看应有从而2交集（重点）定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection set）,记作（读作“A交B”），即且正如并集一样，两个集合的交集仍然是一个集合，所不同的是交集是由两个集合中的共同元素所组成的集合.也就是说，交集是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的.如，由于这两个集合中都有共同元素2、4、5，从而 交集用韦氏图（venn）表示为:ABAB由交集的定义及韦氏图不难看出，交集具有以下性质：（吸收律）；
4、（交换律）；(结合律).【梳理总结】 交集的定义的理解 我们可以从以下三个方面去理解交集的概念: (1)中的任一元素都是集合A中的元素,也都是集合B中的元素;(2) 是由集合A与集合B的的公共元素组成的;(3)当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是说.典例2 设集合,且,求实数的值及【研析】本题的关键在于理解两个集合交集的意义以及元素的互异性.此时包含了两层意思:一方面1,7是集合A与集合B的公共元素;另一方面集合A与集合B的公共元素也只有1,7.由已知且得:且,在集合A中,解得:或.当时,在集合中,又故,但,故不合题意,舍去.当时, 在集合中,故有,解得,经检验知
5、满足综上知,所求 此时,故研习点2.全集与补集1全集一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),通常记作对于全集的理解,我们可以认为是将我们欲研究的问题限定在一个范围内进行,这个范围以外的问题则不在我们研究的范围之内,这时我们就会有理由将我们所研究的这个范围视为全集.另外,全集并不是一成不变的,它是依据所研究问题的来加以选择的.例如我们在考虑正整数的因式分解时,我们把正整数集作为全集;在解不等式时,我们通常把实数集作为全集;多项式的因式分解,如果没有附加说明,通常把有理数集作为全集;在研究数的问题时,常常把实数集作为全集;在研究
6、图形集合时,常常将所有的空间图形的集合作为全集.事实上,即使有些问题不指明全集,全集也是存在的,这就需要我们根据经验来判断全集什么样的集合了.2补集对于一个集合A,由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集的补集(complementanry set),简称为集合A的补集,记作,即且,读作全集中集合A的补集.补集既是集合之间的一种关系,又是集合的一种运算,利用集合的定义可以发现,求已知集合的补集,其实就是从全集中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合就是全集中集合A的补集.其韦氏图（venn）表示如下图所示:3全集与补集的性质全集与补集具有以下性质:(1);(2)
7、 ;(3);(4)*(德摩根(De Morgan)定律); .典例3. 已知，全集U=x|5x3，A=x|5x1，B=x|1x1,求，()()，()()，并指出其中相等的集合.【研析】=x|1x3；=x|5x0，求AB和AB【研析】 A=x|x25x60=x|6x1，B=x|x23x0=x|x0 如图所示： AB=x|6x1x|x0=R 或或探索发现集合问题大都比较抽象，解题时应先将相关的两个集合分别表示出来，然后尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解 典例2. 设A=x|2x1，B=x|x2xb0，已知AB=x
8、|x2，AB=x|1x3，求、b的值【研析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合x|1x2，且AB=x|1x3根据二次不等式与二次方程的关系，可知1与3是方程x2xb=0的两根，由韦达定理得： =(13)=2， b=(1)3=3推广引申类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果【拓展变式】1. 已知集合,且，求,b的值.2. 集合A=（x,y）,集合B=（x,y），又A，求实数m的取值范围.题型二 全集与补集概念的考查典例3. 已知全集，A=1,如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说
9、明理由.【研析】解法一；，即0，解得.当时，为A中元素；当时，当时，这样的实数x存在，是或.解法二，0且或.反思领悟 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.本题考察了集合间的关系以及集合的性质，分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性，此题的关键是理解符号是两层含义：.【拓展变式】3. 设全集，求的值题型三 对交集、并集之间关系的考查典例4. 已知集合若，求实数m的取值范围；若，求实数m的
10、取值范围. 【研析】交流探讨 在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用所学的知识和方法把问题解决这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来，提高解题效率【拓展变式】4. 已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0，且AB=A，求实数的值.综合思维探究题型一 学科内综合题典例5. 若A=2，4, 3227,B=1, 1, 222,(238), 3237，且AB=2，5，求实数的值【研析】AB=2，5，3227=5,由此求得=2或= 1当=1时，222=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1当=1时，B=1,0,5,2,4，与AB=2，5相矛盾
11、，故又舍去=1当=2时，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此时AB=2，5，满足题设故=2为所求方法探究 由AB=2，5求得=2或= 1时,针对于集合B中的元素是什么，需要分类进行讨论,并且对于集合B中的元素是否满足元素的互异性，有待于进一步考查【拓展变式】5. 已知，求a的值.题型二 实际应用题典例6. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？【研析】赞成A的人数为50=
12、30，赞成B的人数为30+3=33，如右图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30x，赞成B而不赞成A的人数为33x.依题意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人方法探究本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.【拓展变式】6. 求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数
13、共有多少个？题型三 易错辨析题典例7. 已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若A=，则实数m的取值范围是_【研析】从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2(m2)x1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围由A=又方程x2(m2)x1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， 或=(m2)240解得m0或4m4思维指南 空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合当题设中隐含有空集
14、参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误此题容易发生的错误是由A=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言【拓展变式】7. 已知，若，则的值为创新思维探究题型一 开放探究题典例8设集合A = (x，y)|yx1= 0 ，集合B =(x，y)| 4x2x2y5 = 0 ，集合C =(x，y)| y = kxb ，是否存在k，bN，使得？若存在，请求出k，b的值；若不存在，请说明理由【研析】因为，即，所以且将y = kxb代入yx1= 0，得kx(2kb1)xb1= 0，因为，所以= (2kb1)4k( b1
15、)0，即4k4kb10，若此不等式有解，应有16b160，即b1又将y = kxb代入4x2x2y5 = 0，得：4x(22k)x(52b) = 0，因为，所以= (22k)4k(52b)0，即k2k8b190，若此不等式有解，应有44(8b19)0，解得b由不等式、及bN，得b = 2将b = 2代入由0和0组成的不等式组，得，再注意到kN，求得k = 1故存在自然数k = 1，b = 2使得理念链接在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(讨论型)”等形式出现“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一
16、个，就说明存在“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证“是否存在”结论有两种：一种是可能或存在；另一种是不存在，则需要说明理由【拓展变式】8. 已知集合，是否存在实数使得，若存在求出实数的值，若不在，说明理由题型二 奇思妙解题典例9 已知集合,若,求实数的取值范围.【研析】设全集或方程的两根均非负等价于即时,实数的取值范围是.故时,实数的取值范围为集合关于集合的补集,即方法探究 本题中意味着方程的根有三种不同的情况:(1)两个负根;(2)一个负根一个零根;(3)一个负根一个正根.此三种情况虽然可概括为较小的根小于零,即利用求根公式,但是求解
17、此不等式也并不轻松.但是如果考虑的反面,则可先求出方程两根非负时的取值范围,然后再利用补集思想求解时的的取值范围,就显得比较容易了.【拓展变式】9. 已知集合A=x|x24mx2m6=0,xR，若AR，求实数m的取值范围题型3 奥赛欣赏题典例10已知集合,其中,.若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B.【研析】,且,又,所以又,可得,并且或若,即,则有解得或(舍)此时有若,即,此时应有,则中的所有元素之和为100124.不合题意.综上可得, 品思感悟 本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分
18、为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【拓展变式】10. 已知A为有限集,且,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.高考思维探究 本节内容联系面广，多与高中数学其它知识相结合，方法灵活多变,除了能利用基本概念与方法外,还应该注意采用逆向思维,从问题的反而入手,利用补集思想解决问题.在高考试题中多有体现.多以选择题与填空题的形式出现,有时也可以出解答题.典例11（2007年北京卷）已知集合，若，则实数的取值范围是【研析】集合=x| a1xa+1，=x| x4或x1 又， ，解得2a3，实数的取值范围是品思感悟这是一道研究集合的包含关系与解
19、不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意应先确定已知集合，再利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.【拓展变式】11（2007年安徽卷文）若，则=（ ）A3B1CD1开拓学习新视野其实只有一个你好友最近为情所困，茶饭不思，心情极其低落.网上QQ一露脸，便顿足捶胸，呼天抢地地大喊：“我为什么这么命苦啊，为什么找不到合适的男人，为什么得不到成功的爱情！” 我好言相劝，不料刚开导几句就被她无情地打击.范围之广，令人汗颜：“你们男人都不是好东西！”我刚想直陈其失，却见其眼泪汪汪很是可怜.忽又记得古训曰：
20、“凡劝人，不可遽指其过，必须先美其长；盖人喜则言易入，怒则言难入也.” 于是，我转念一想，道：“你其实是万里挑一的好女子！” 友惊，竟然停止哭泣，问道：“真的？” 我答：“那还有假！且听我慢慢算来.” 我继续解释：“目前，地球上有50亿人口，中国人有13亿，大概占20%.其中男女大致各半，我们以此为基础，从这半边天的6亿多女人中算起.” 友急迫之心可见：“快说快说，愿闻其详.” “这6亿多中国女人中，像你这样身高165以上，身材匀称，皮肤白皙，气质动人的电眼美女也就10%左右.” 友略有些腮红脸红的QQ头像迅速发来. 我继续分析：“家在直辖市的美丽女性只有1%，而其中考上中国Top10重点大学
21、的最多只占0.1%，你自然属于这一类.” 友赶紧点头. “而从这些重点大学中保送上重点大学的研究生的只占0.01%.” 友打出一个微笑的脸庞，说：“的确如此！” “这其中家庭幸福、朋友众多、身体健康的女子也就十分之一，占总数0.001%.瞧，这已经是千万里挑一了！” 友做幸福状，鲜红的心闪得我眼晕. 我答道：“但是事情远远还没有结束.” 友兴致高昂，大手一挥：“继续！” “你没毕业就拿到华为的offer，可谓千里挑一，那么只有0.000001%.算起来，真是超出万里挑一，简直凤毛麟角，你还不知足吗？” 友听完大笑不止，似乎又有了快乐活下去的勇气和动力.她喃喃自语说：“咦，我怎么就没有发现呢？”
22、而后对我千恩万谢，似乎我就是传说中的伯乐，而她则是隐匿多年，才得以重见天日的千里马驹！ 其实，我本想说万里挑一足矣，却没料到一发不可收拾.我掐指仔细一算，这竟然是十亿分之一.换句话说，只要没有克隆的好友出现，偌大中国甚至整个星球上仅她自己而已. 的确如此，这便是人存在的独特性与相对性之意义所在，每一个人都是十亿里挑一：在整个世界上，其实只有一个你！优化考题新演练理解与应用1. （2007年天津卷）已知集合，则（ ）ABCD2. 图中阴影部分所表示的集合是（ ）A.BCU(AC) B.(AB) (BC) C.(AC)(CUB) D.CU(AC)B3. 已知集合A=x|2x7,B=x|m+1x2m
23、1且B,若AB=A，则( )A.3m4B. 3m4C.2m4D.2m43 4. 已知全集且则等于 A.B.C.D.二、拓展与创新5. 某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.6. （2007年湖南卷） 设集合，（1）的取值范围是 .（2）若且的最大值为9，则的值是 .三、综合与探究7. 已知,求AB.8. 设，若，求所有满足条件的a的集合.答案与解析研读【拓展变式】1.解： . 中元素必是B的元素. 又, 中的元素属于B, 故. 而. 1,4是方程的两根， a=3,b=4.2.由AB知方程组得x2+(m1)x=0，
24、即m3或m1.因此m,或m1.3. 解：，且，或（1）当时，此时满足（2）当时，应舍去，4. 解： AB=A， A=1，2， B=或B=1或B=2或B=1，2若B=，则令0得R且2，把x=1代入方程得R，把x=2代入方程得=3综上的值为2或35. 解： 检验：_3的倍数_2的倍数_5的倍数6. 解： “正难则反”，先求出200个数不满足条件的，即能被2或3或5整除的自然数个数，再从200中减去.设不能被2、3、5整除的数的集合分别是A、B、C，则符合条件的数的集合为ABC,不符全条件的数的集合为：，如图先画出文氏图，不难看出不符合的数共有：（2002）2003(2005)(20010)2006
25、2001520030146(式中x为不超过x的最大整数)所以，符合条件的数共有20014654（个）7. 解：当时，由得，由得或，或3，或当时，综上所述，得的值为8. 解：存在满足题意，因为，而，则至少有一个元素在中，又，即，得而矛盾，.9. 解:设全集=m|=(4m)24(2m6)0=m|m1或m若方程x24mx2m6=0的二根为x1、x2均非负，因此，m|m关于补集m|m1即为所求10. 解：设集合A=且,由,得,即或(事实上,当时,有.当时,而当时,由,解得综上可知,11. 解：D提示：从而选D.优化考题新演练1B提示：方法一（直接法）：,故.方法二(排除法)：由可知中的元素比0要大, 而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且中含有元素比1，故排除A项.故答案为B.2. A3. D 提示：AB=A，BA,又B,，即2m44C提示：集合，所以，集合，所以为.5.26提示：图出韦氏图，根据韦氏图进行计算.22b6（1）（2）解析：（1）如图所示，可知的取值范围是；（2）若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b=.7. 解： 8. 解：M=1，3 当时，ax1=0无解，a=0综得：所求集合为1，0，.
