1、第一节空间几何体考试要求：1认识柱、锥、台及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱及其简易组合)的直观图3知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题一、教材概念结论性质重现1多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线相互平行且相等并垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3
2、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)“斜”：在直观图中，x轴、y轴的夹角为45或135(2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线，在直观图中长度为原来的一半画直观图要注意平行，还要注意长度及角度两个要素4圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l5空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VS底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2V
3、R3(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决(2)常常利用一些几何体的展开图解决表面上的最短距离问题(3)求几何体的体积时，要注意利用分割、补形与等体积法6常用结论几个与球有关的切、接常用结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31解决与球“外接”问题的关键：(1)确定球心(2)构造正(长)方体等特殊几何体二、基本技能思想活动经验1判断下列说
4、法的正误，对的打“”，错的打“”(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分()(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S()2如图，长方体ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是()A棱台 B四棱柱C五棱柱 D简单组合体C解析：由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱3已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cm C3 cm D cmB解析：S
5、表r2rlr2r2r3r212，所以r24，所以r2 cm4体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B C8 D4A解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212故选A5在直观图(如图所示)中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为_，面积为_cm2矩形8解析：由斜二测画法的规则可知，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2考点1空间几何体的结构特征与直观图基础性1用任意一个平面截一个几何体，各个截
6、面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱B圆锥C球D圆柱、圆锥、球体的组合体C解析：截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体2下列命题正确的是()A以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台C解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A，B错误，C正确对于D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，D不正确3如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形 D一般的平
7、行四边形C解析：如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224(cm)，CDCD2 cm所以OC6(cm)，所以OAOC，所以四边形OABC是菱形4(多选题)下列命题中正确的是()A棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C存在每个面都是直角三角形的四面体D棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等BC解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角
8、三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等1解决空间几何体的结构特征的判断问题主要方法是定义法，即紧扣定义来判断，或列举反例进行判断解答此类问题常常由于概念理解出错，如第2题有可能错选A，B，D，第4题错选A，D等2解决直观图问题，要理解并学会运用斜二测画法规则考点2空间几何体的表面积与体积综合性考向1空间几何体的表面积问题(1)(2021新高考全国卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A2B2C4D4B解析：由题意知圆锥的底面周长为2设圆锥的母线长为l，则l2，即l2故选B(2)如图，在三棱柱A
9、BCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30，则该三棱柱的侧面积为()A44 B44C12 D84A解析：连接A1B因为AA1底面ABC，则AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为CA1B30又AA1AC2，所以A1C2，所以BC又ABBC，则AB，则该三棱柱的侧面积为222244(3)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积Scm22 600解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的
10、侧面展开图为矩形由题意得所求侧面展开图的面积S(5080)(40)2 600(cm2)求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积1一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_12解析：设正六棱锥
11、的高为h，侧面的斜高为h由题意，得62h2，所以h1，所以斜高h2，所以S侧622122九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵已知一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为_36解析：设球的半径为r，底面三角形的周长为l，由已知得r1，所以堑堵的高为2则lr6，l12，所以表面积S1226236考向2空间几何体的体积问题(1)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A B C DA解析：易知三棱锥B1ABC1的体积等于三棱
12、锥AB1BC1的体积，又三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为(2)(2021八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为_61解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O，则圆台的高OO3据此可得圆台的体积V3(525442)61求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无
13、论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解通过选择合适的底面来求几何体体积，主要用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积1(2021全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为_39解析：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的体积V62h30，解得h所以l，故圆锥的侧面积Srl6392如图，已知体积为V的三棱柱ABCA1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥PAA1C1C的体积_解析：如图，把三棱柱ABCA1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1ADBC设点P到平面AA1C1C的距离为h，则VS
14、hV2V考点3与球有关的切、接问题综合性考向1“相切”问题已知正四面体PABC的表面积为S1，此四面体的内切球的表面积为S2，则_解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作，利用体积分割法求内切球半径考向2“相接”问题已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A B 2 C D3C解析：如图所示，
15、由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA处理与球有关外接问题的策略(1)构造正(长)方体等特殊几何体转化为特殊几何体的外接球问题(2)空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当截面(过球心、接点等)(3)利用球与截面圆心的连线垂直于截面，确定球心所在的直线1已知三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC3，PAPB，则三棱锥PABC的外接球的体积为()ABC27 D27B解析：因为三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC3，所以PABPBCPAC因为PAPB，所以PAPC，PCPB以PA，PB，PC为过同一顶点的
16、三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥PABC的外接球因为正方体的体对角线长为3，所以其外接球半径R因此三棱锥PABC的外接球的体积V2(2020全国卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_解析：方法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CDAB，BD1，BC3，圆O内切于ABC，E为切点，连接OE，则OEBC在RtBCD中，CD2易知BEBD1，则CE2设圆锥的内切球半径为R，则OC2R，在RtCOE中，OC2OE2CE2，即(2R)2R24，所以R，圆锥内半径最大的球的体积为R3方法二：如图，记圆锥的轴截面为ABC，其中ACBC3，AB2，CDAB，在RtBCD中，CD2，则SABC2设ABC的内切圆O的半径为R，则R，所以圆锥内半径最大的球的体积为R3
